Considerando os conjuntos abaixo, dizer quais são abertos, quais são fechados e quais não são nem abertos e nem fechados, prove a sua afirmação. Encontre a fronteira de cada conjunto (demonstre!).

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem o conjunto
S=(x,y)mid (x^2+y^2-1)(4-x^2-y^2)>0
precisa dizer se é aberto, fechado ou nenhum dos dois, e encontrar a fronteira de S.

Passo 2

Definição da função auxiliar: considere
f(x,y)=(x^2+y^2-1)(4-x^2-y^2)
Note que f é contínua (polinômio) e
S= f^-1((0,+infty))

Passo 3

Reescrevendo S em termos de raio: o produto só é positivo se ambos fatores forem positivos. Logo
x^2+y^2-1>0e 4-(x^2+y^2)>0
isto é
1
Portanto
S=(x,y)mid 1
que é exatamente o anel aberto de raios 1 e 2.

Passo 4

Conclusão de abertura: S é interseção de dois conjuntos abertos
(x,y)mid x^2+y^2>1e(x,y)mid x^2+y^2<4
e interseção de abertos é aberto. Assim S é aberto.

Passo 5

S não é fechado porque a fronteira (circunferências de raio 1 e 2) não está contida em S. Ou seja, existem pontos de aderência (por exemplo em x2+y2=1) que não pertencem a S.

Passo 6

Fronteira de S: um ponto está na fronteira se toda vizinhança dele intersecta S e seu complementar. Isso ocorre exatamente quando
x^2+y^2=1ou x^2+y^2=4
Logo
partial S=(x,y)mid x^2+y^2=1cup(x,y)mid x^2+y^2=4

Resposta

O conjunto é aberto (não é fechado). A fronteira é
(x,y)mid x^2+y^2=1cup(x,y)mid x^2+y^2=4.

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