Considerando os conjuntos abaixo, dizer quais são abertos, quais são fechados e quais não são nem abertos e nem fechados, prove a sua afirmação. Encontre a fronteira de cada conjunto (demonstre!).
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem o conjunto
precisa dizer se é aberto, fechado ou nenhum dos dois, e encontrar a fronteira de S.
Passo 2
Definição da função auxiliar: considere
Note que f é contínua (polinômio) e
Passo 3
Reescrevendo S em termos de raio: o produto só é positivo se ambos fatores forem positivos. Logo
isto é
Portanto
que é exatamente o anel aberto de raios 1 e 2.
Passo 4
Conclusão de abertura: S é interseção de dois conjuntos abertos
e interseção de abertos é aberto. Assim S é aberto.
Passo 5
S não é fechado porque a fronteira (circunferências de raio 1 e 2) não está contida em S. Ou seja, existem pontos de aderência (por exemplo em x2+y2=1) que não pertencem a S.
Passo 6
Fronteira de S: um ponto está na fronteira se toda vizinhança dele intersecta S e seu complementar. Isso ocorre exatamente quando
Logo
Resposta
O conjunto é aberto (não é fechado). A fronteira é
.