Calcule
para os seguintes dados. Se
é a força, esssa integral fornecerá o trabalho realizado no deslocamento ao longo de
. Esboce C.
,
é o menor caminho entre
a
.
integral fica menor do que no problema 1? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do trabalho
para
ao longo do menor caminho (segmento de reta) de
a
. Vamos usar conceitos de integral de linha para campos vetoriais não conservativos e parametrização de curvas.
Passo 2
Parametrizamos o segmento de reta
unindo
a
por
Logo,
Passo 3
Substituímos na força
O produto escalar é
Passo 4
Calculamos a integral de
a
:
Passo 5
O esboço de
é simples: é o segmento de reta ligando $ (0,0) $ a $ (2,20) $, com inclinação
.
Em geral, não é conservativa, pois
Em geral,
e essas derivadas só coincidem se
. Assim o trabalho depende do caminho. No problema 1 (caminho em duas etapas pelos eixos) obteve-se
, enquanto aqui deu
. Portanto a integral não fica menor do que no problema 1.
A diferença ocorre justamente porque não é conservativa e o valor do trabalho varia conforme o trajeto.
A diferença ocorre justamente porque
Resposta
O trabalho ao longo do segmento de reta é 4040, e não fica menor do que no problema 1 — na verdade é bem maior — porque o campo não é conservativo.