Calcule para os seguintes dados. Se é a força, esssa integral fornecerá o trabalho realizado no deslocamento ao longo de . Esboce C.
, é o menor caminho entre a . integral fica menor do que no problema 1? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do trabalho integralC vec Fcdot dvec r para vec F=(y^3,x^3) ao longo do menor caminho (segmento de reta) de A(0,0) a B(2,20). Vamos usar conceitos de integral de linha para campos vetoriais não conservativos e parametrização de curvas.

Passo 2

Parametrizamos o segmento de reta C unindo A a B por
r(t) = (2t,20t), 0 <= t <= 1
Logo,
dr = (2,20),dt

Passo 3

Substituímos na força
vec F(r(t)) = l((20t)^3,;(2t)^3r) = (8000,t^3,;8,t^3)
O produto escalar é
vec F(r(t))cdot dr = 8000t^3cdot 2 + 8t^3cdot 20 = 16160,t^3

Passo 4

Calculamos a integral de t=0 a 1:
integralC vec Fcdot dvec r = integral0^1 16160,t^3,dt = 16160cdot 14 = 4040

Passo 5

O esboço de C é simples: é o segmento de reta ligando $ (0,0) $ a $ (2,20) $, com inclinação (0,0) .
Em geral, (2,20) não é conservativa, pois
20/2=10
e essas derivadas só coincidem se vec F. Assim o trabalho depende do caminho. No problema 1 (caminho em duas etapas pelos eixos) obteve-se partial Ppartial y = 3y^2, partial Qpartial x = 3x^2, , enquanto aqui deu x^2=y^2. Portanto a integral não fica menor do que no problema 1.
A diferença ocorre justamente porque 160 não é conservativa e o valor do trabalho varia conforme o trajeto.

Resposta

O trabalho ao longo do segmento de reta é 4040, e não fica menor do que no problema 1 — na verdade é bem maior — porque o campo não é conservativo.

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