Calcule para os seguintes dados. Se é a força, esssa integral fornecerá o trabalho realizado no deslocamento ao longo de . Esboce C.
é o semicírculo de até

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia: Temos o trabalho dado por integralC vec Fcdot dvec r, onde vec F(x,y,z)=[x^2,,y^2,,0] e C é o semicírculo de raio 2 indo de (2,0) a (-2,0) com y>=0. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial sobre curva parametrizada. Vamos parametrizar C e calcular diretamente.

Passo 2

Esboço da curva C: A curva C é a semicircunferência de raio 2 centrada na origem, no plano z=0, parte superior do círculo. Ela vai de (2,0) (ânulo t=0) até (-2,0) (ânulo t=pi).

Passo 3

Parametrização de C e expressão de vec F em função de t:
vec r(t)=l(2cos t,,2sin t,,0r), tin[0,pi],
dvec rdt=l(-2sin t,,2cos t,,0r),
vec Fl(vec r(t)r)=l(4cos^2 t,,4sin^2 t,,0r)

Passo 4

Cálculo do produto interno e montagem da integral:
vec Fl(vec r(t)r)cdotdvec rdt =4cos^2 t,(-2sin t)+4sin^2 t,(2cos t) =-8cos^2 tsin t+8sin^2 tcos t
Logo
integralCvec Fcdot dvec r =integral0^pil(-8cos^2 tsin t+8sin^2 tcos tr)dt

Passo 5

Avaliação da integral por substituição:
Para I1=integral0^pi-8cos^2 tsin t,dt, use u=cos t, du=-sin t,dt, obtém-se
I1=-,8integral-1^1u^2,du=-,8cdot23=-163
Para I2=integral0^pi8sin^2 tcos t,dt, use v=sin t, dv=cos t,dt, de 0 a 0, dá I2=0. Portanto o resultado total é
-163+0=-163

Resposta

-\tfrac{16}{3}

Exercícios relacionados