Considerando os conjuntos abaixo, dizer quais são abertos, quais são fechados e quais não são nem abertos e nem fechados, prove a sua afirmação. Encontre a fronteira de cada conjunto (demonstre!).
e

Passo 1

Temos o conjunto S = (x,y,z)in R^3 mid |x|<1,,|y|<1,,z=0. O conteúdo é topologia em R^3: decidir se S é aberto, fechado ou nenhum, e encontrar sua fronteira. Vamos usar as definições de conjunto aberto, conjunto fechado, interior, aderência e fronteira.

Passo 2

Para verificar se S é aberto, analisamos o interior. Um conjunto é aberto se todo ponto admite uma bola (em R^3) contida nele. Pegue um ponto arbitrário (x0,y0,0)in S. Qualquer bola de raio varepsilon>0 centrada em (x0,y0,0) contém pontos com coordenada zneq0, que não pertencem a S. Logo não existe varepsilon>0 que mantenha a bola inteira em S, ou seja, o interior de S é vazio e S não é aberto.

Passo 3

Para ver se S é fechado, podemos verificar se contém todos os seus pontos de aderência. Considere a sequência (xn,yn,zn) em S com xnto1, yn=0, zn=0. O limite é (1,0,0), que não está em S pois |x|<1 falha. Assim S não contém um de seus pontos de aderência e portanto não é fechado.

Passo 4

Para achar a aderência S, observamos que todo ponto limite de S deve satisfazer z=0 e é alcançado por sequências com |x|<1,|y|<1. Nos limites podemos ter |x|=1 ou |y|=1. Logo
S=(x,y,z)inR^3mid |x|<=1,,|y|<=1,,z=0

Passo 5

A fronteira de S é partial S=S-int(S). Como int(S)=emptyset, temos
partial S=(x,y,z)inR^3mid |x|<=1,,|y|<=1,,z=0

Resposta

O conjunto não é aberto nem fechado, e sua fronteira é
(x,y,z)inR^3mid |x|<=1,,|y|<=1,,z=0.

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