Considerando os conjuntos abaixo, dizer quais são abertos, quais são fechados e quais não são nem abertos e nem fechados, prove a sua afirmação. Encontre a fronteira de cada conjunto (demonstre!). e
Passo 1
Temos o conjunto . O conteúdo é topologia em : decidir se é aberto, fechado ou nenhum, e encontrar sua fronteira. Vamos usar as definições de conjunto aberto, conjunto fechado, interior, aderência e fronteira.
Passo 2
Para verificar se é aberto, analisamos o interior. Um conjunto é aberto se todo ponto admite uma bola (em ) contida nele. Pegue um ponto arbitrário . Qualquer bola de raio centrada em contém pontos com coordenada , que não pertencem a . Logo não existe que mantenha a bola inteira em , ou seja, o interior de é vazio e não é aberto.
Passo 3
Para ver se é fechado, podemos verificar se contém todos os seus pontos de aderência. Considere a sequência em com , , . O limite é , que não está em pois falha. Assim não contém um de seus pontos de aderência e portanto não é fechado.
Passo 4
Para achar a aderência , observamos que todo ponto limite de S deve satisfazer z=0 e é alcançado por sequências com |x|<1,|y|<1. Nos limites podemos ter |x|=1 ou |y|=1. Logo
S=(x,y,z)inR^3mid |x|<=1,,|y|<=1,,z=0
Passo 5
A fronteira de S é partial S=S-int(S). Como int(S)=emptyset, temos
partial S=(x,y,z)inR^3mid |x|<=1,,|y|<=1,,z=0
Resposta
O conjunto não é aberto nem fechado, e sua fronteira é (x,y,z)inR^3mid |x|<=1,,|y|<=1,,z=0.