Calcule as seguintes derivadas:
(f) Qual é a derivada da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=e^{3 x^{3}+5 x^{2}+2 x+1} ? (Dica: Use a regra da cadeia).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{3x^{3}+5x^{2}+2x+1}.
O conteúdo aqui é a derivada de uma função composta do tipo e^{h(x)}, e vamos usar a regra da cadeia: se f(x)=g(h(x)), então
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).

Passo 2

Identificamos a parte externa e a parte interna da composição:
g(u)=e^{u} e h(x)=3x^{3}+5x^{2}+2x+1.
Logo, segundo a regra da cadeia,
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
Para g(u)=e^{u}, temos
g'(u)=e^{u}.
Para h(x)=3x^{3}+5x^{2}+2x+1, temos
h'(x)=9x^{2}+10x+2.

Passo 4

Substituímos na fórmula da regra da cadeia:
f'(x)=e^{\,h(x)}\cdot h'(x)=e^{3x^{3}+5x^{2}+2x+1}\cdot(9x^{2}+10x+2).

Resposta

f'(x)=(9x^{2}+10x+2)\,e^{3x^{3}+5x^{2}+2x+1}.

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