Calcule as seguintes derivadas:
(h) Qual é a derivada da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\sqrt{x^{2}+2 x+1} ?

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{x^{2}+2x+1}\,,
que é uma função composta do tipo f(x)=\sqrt{g(x)} com g(x)=x^2+2x+1. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{g(x)}\bigr) =\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}.

Passo 2

Primeiro calculamos g'(x). Como g(x)=x^{2}+2x+1, temos
g'(x)=2x+2.
Pela regra da cadeia,
f'(x) =\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} =\frac{2x+2}{2\sqrt{x^{2}+2x+1}} =\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+1}}.

Passo 3

Note que
\sqrt{x^{2}+2x+1}=\sqrt{(x+1)^{2}}=|x+1|.
Substituindo na expressão de f'(x), obtém-se
f'(x)=\frac{x+1}{|x+1|},\quad x\neq -1.

Passo 4

A fração \frac{x+1}{|x+1|} é justamente a função sinal de x+1. Logo, decompomos em dois casos:
  • Se x+1>0 (isto é, x>-1), então |x+1|=x+1 e f'(x)=1.
  • Se x+1<0 (isto é, x<-1), então |x+1|=-(x+1) e f'(x)=-1.
Em x=-1 a derivada não existe, pois a função f tem um “canto” (não é diferenciável) nesse ponto.

Resposta

f'(x)= \begin{cases} 1, & x>-1,\\\\ -1, & x< -1, \end{cases} \quad f'\text{ não existe em }x=-1.ã

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