Calcule as seguintes integrais:
integral-1^0(x^3+3 x-1) d x
a integral de f(x)=1x+1x^3 no intervalo [1,2].

Passo 1

Beleza, temos aqui dois exercícios de cálculo de integrais. O primeiro pede para calcular a integral de $ f(x) = x^3 + 3x - 1 $ no intervalo de f(x) = x^3 + 3x - 1 a -1. O segundo solicita a integral de $ f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} $ no intervalo de 0 a f(x) = 1x + 1x^3 . Para resolver esses problemas, vamos precisar usar as regras de integração básicas, encontrar as primitivas das funções e aplicar o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro integral: integral-1^0 (x^3 + 3x - 1) , dx. A ideia aqui é encontrar a primitiva de cada termo da função e depois avaliar nos limites dados.

Passo 3

Primeiro, encontramos a primitiva de x^3. Sabemos que a integral de x^n é x^n+1n+1. Então,
integral x^3 , dx = x^44

Passo 4

Agora, a primitiva de 3x:
integral 3x , dx = 3 cdot x^22 = 3x^22

Passo 5

E a primitiva de -1:
integral (-1) , dx = -x

Passo 6

Juntando tudo, a primitiva de x^3 + 3x - 1 é:
F(x) = x^44 + 3x^22 - x

Passo 7

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo, que diz que a integral definida de a a b de f(x) é F(b) - F(a). Então:
integral-1^0 (x^3 + 3x -1) , dx = F(0) - F(-1)

Passo 8

Calculando F(0):
F(0) = 0^44 + 3 cdot 0^22 - 0 = 0

Passo 9

Calculando F(-1):
F(-1) = (-1)^44 + 3 cdot (-1)^22 - (-1) = 14 + 32 + 1 = 14 + 32 + 44 = 1 + 6 + 44 = 114

Passo 10

Então, a integral fica:
integral-1^0 (x^3 + 3x -1) , dx = 0 - 114 = -114

Passo 11

Agora, vamos para o segundo integral: integral1^2 ( 1x + 1x^3 ) , dx. Também aqui, encontramos as primitivas de cada termo.

Passo 12

Primeiro, a primitiva de 1x é o logaritmo natural:
integral 1x , dx = ln |x|

Passo 13

Agora, a primitiva de 1x^3. Reescrevendo, temos x^-3, então:
integral x^-3 , dx = x^-2-2 = -12x^2

Passo 14

Juntando tudo, a primitiva de 1x + 1x^3 é:
G(x) = ln |x| - 12x^2

Passo 15

Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
integral1^2 ( 1x + 1x^3 ) , dx = G(2) - G(1)

Passo 16

Calculando G(2):
G(2) = ln 2 - 12 cdot 2^2 = ln 2 - 18

Passo 17

Calculando G(1):
G(1) = ln 1 - 12 cdot 1^2 = 0 - 12 = -12

Passo 18

Então, a integral fica:
integral1^2 ( 1x + 1x^3 ) , dx = ( ln 2 - 18 ) - ( -12 ) = ln 2 - 18 + 12 = ln 2 + 38

Resposta

A solução das integrais é:
integral-1^0 (x^3+3 x-1) d x = -114
e
integral1^2 (1x+1x^3) d x = ln 2 + 38

Exercícios relacionados