Calcule as seguintes integrais:
a integral de
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, temos aqui dois exercícios de cálculo de integrais. O primeiro pede para calcular a integral de $ f(x) = x^3 + 3x - 1 $ no intervalo de
a
. O segundo solicita a integral de $ f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} $ no intervalo de
a
. Para resolver esses problemas, vamos precisar usar as regras de integração básicas, encontrar as primitivas das funções e aplicar o teorema fundamental do cálculo.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro integral:
. A ideia aqui é encontrar a primitiva de cada termo da função e depois avaliar nos limites dados.
Passo 3
Primeiro, encontramos a primitiva de
. Sabemos que a integral de
é
. Então,
Passo 4
Agora, a primitiva de
:
Passo 5
E a primitiva de
:
Passo 6
Juntando tudo, a primitiva de
é:
Passo 7
Aplicamos o teorema fundamental do cálculo, que diz que a integral definida de
a
de
é
. Então:
Passo 8
Calculando
:
Passo 9
Calculando
:
Passo 10
Então, a integral fica:
Passo 11
Agora, vamos para o segundo integral:
. Também aqui, encontramos as primitivas de cada termo.
Passo 12
Primeiro, a primitiva de
é o logaritmo natural:
Passo 13
Agora, a primitiva de
. Reescrevendo, temos
, então:
Passo 14
Juntando tudo, a primitiva de
é:
Passo 15
Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
Passo 16
Calculando
:
Passo 17
Calculando
:
Passo 18
Então, a integral fica:
Resposta
A solução das integrais é:
e