Determine tanto a série de Fourier do senos como a série de Fourier dos cossenos das funções abaixo. Estude as séries obtidas quanto à convergência e esboce o gráfico das extensões periódicas par e ímpar.
para
.
Passo 1
O enunciado pede as séries de Fourier de meia-onda de
em
:
- a série em cossenos corresponde à extensão par de período
, - a série em senos corresponde à extensão ímpar de período
.
Vamos usar as fórmulas genéricas com:
Passo 2
Cálculo dos coeficientes
da série em cossenos:
- Primeiro
- Para
,
fazemos duas integrações por partes e obtemos
Logo
Passo 3
A série de Fourier em cossenos fica, para
,
Convergência: como a extensão par é contínua e derivável em
, a série converge uniformemente em
ao perfil periódico de período
que, em cada intervalo
, é a parábola
refletida simetricamente.
Esboço do gráfico da extensão par:
Esboço do gráfico da extensão par:
- Em
: . - Repete-se com período
, sempre espelhando em torno de .
Passo 4
Cálculo dos coeficientes
da série em senos:
Duas integrações por partes levam a
portanto
Passo 5
A série de Fourier em senos fica, para
,
Convergência: a extensão ímpar tem descontinuidade em
e
, então a série converge ponto a ponto em
e, nos pontos de salto, ao valor médio
.
Esboço do gráfico da extensão ímpar:
Esboço do gráfico da extensão ímpar:
- Em
: . - Em
: . - Repete-se com período
, invertendo o sinal a cada metade de período.
Resposta
Série em cossenos (extensão par, período
):
Série em senos (extensão ímpar, período
):