Determine tanto a série de Fourier do senos como a série de Fourier dos cossenos das funções abaixo. Estude as séries obtidas quanto à convergência e esboce o gráfico das extensões periódicas par e ímpar.
f(x)=x^{2} para x \in(0,1).

Passo 1

O enunciado pede as séries de Fourier de meia-onda de f(x)=x^2 em (0,1):
  • a série em cossenos corresponde à extensão par de período 2,
  • a série em senos corresponde à extensão ímpar de período 2.
    Vamos usar as fórmulas genéricas com L=1:
a_0 = 2\int_{0}^{1}f(x)\,dx,\quad a_n = 2\int_{0}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx,\quad b_n = 2\int_{0}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 2

Cálculo dos coeficientes a_n da série em cossenos:
  1. Primeiro
a_0 = 2\int_{0}^{1}x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
  1. Para n\ge1,
I_n = \int_{0}^{1}x^2\cos(n\pi x)\,dx.
fazemos duas integrações por partes e obtemos
I_n = \frac{2(-1)^n}{n^2\pi^2}.
Logo
a_n = 2\,I_n = \frac{4(-1)^n}{n^2\pi^2}.

Passo 3

A série de Fourier em cossenos fica, para x\in[0,1],
x^2 = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(n\pi x) = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{n^2\pi^2}\,\cos(n\pi x).
Convergência: como a extensão par é contínua e derivável em x=\pm1, a série converge uniformemente em \mathbb{R} ao perfil periódico de período 2 que, em cada intervalo [-1,1], é a parábola x^2 refletida simetricamente.
Esboço do gráfico da extensão par:
  • Em [-1,1]: f(x)=x^2.
  • Repete-se com período 2, sempre espelhando em torno de x=0.

Passo 4

Cálculo dos coeficientes b_n da série em senos:
K_n = \int_{0}^{1}x^2\sin(n\pi x)\,dx.
Duas integrações por partes levam a
K_n = -\frac{(-1)^n}{n\pi} + \frac{2(-1)^n}{n^3\pi^3} - \frac{2}{n^3\pi^3},
portanto
b_n = 2\,K_n = -\frac{2(-1)^n}{n\pi} + \frac{4(-1)^n}{n^3\pi^3} - \frac{4}{n^3\pi^3}.

Passo 5

A série de Fourier em senos fica, para x\in[0,1],
x^2 = \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(-\frac{2(-1)^n}{n\pi} + \frac{4(-1)^n}{n^3\pi^3} - \frac{4}{n^3\pi^3}\Bigr)\sin(n\pi x).
Convergência: a extensão ímpar tem descontinuidade em x=0 e x=\pm1, então a série converge ponto a ponto em (0,1) e, nos pontos de salto, ao valor médio \tfrac{1+(-1)}{2}=0.
Esboço do gráfico da extensão ímpar:
  • Em [0,1]: f(x)=x^2.
  • Em [-1,0]: f(x)=-(-x)^2=-x^2.
  • Repete-se com período 2, invertendo o sinal a cada metade de período.

Resposta

Série em cossenos (extensão par, período 2):
\boxed{ x^2 = \frac{1}{3} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{n^2\pi^2}\,\cos(n\pi x). }
Série em senos (extensão ímpar, período 2):
\boxed{ x^2 = \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(-\frac{2(-1)^n}{n\pi} + \frac{4(-1)^n}{n^3\pi^3} - \frac{4}{n^3\pi^3}\Bigr)\sin(n\pi x). }

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