Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\operatorname{sen}(5 x)+\cos \left(\frac{x}{7}\right)+\operatorname{tg}(\sqrt{x})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{sen}(5x)+\cos\!\left(\frac{x}{7}\right)+\operatorname{tg}(\sqrt{x}).
Informações dadas:
\operatorname{sen}(5x) é o primeiro termo, \cos\!\left(\frac{x}{7}\right) é o segundo termo e \operatorname{tg}(\sqrt{x}) é o terceiro termo. A tarefa é obter f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Relembrando regras básicas de derivação (vou explicar cada uma devagarinho):
  • Regra da derivada da função seno: para qualquer função composta \operatorname{sen}(u),
\frac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\cos(u).
Isso significa que se tivermos \operatorname{sen}(u(x)), a derivada em relação a x será \cos(u(x))\cdot u'(x) (essa multiplicação é a chamada regra da cadeia; vou detalhar em seguida).
  • Regra da derivada da função cosseno: para qualquer u,
\frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).
Novamente, para \cos(u(x)) aplicamos a regra da cadeia: -\sin(u(x))\cdot u'(x).
  • Regra da derivada da tangente: para qualquer u,
\frac{d}{du}\operatorname{tg}(u)=\operatorname{sec}^2(u),
onde \operatorname{sec}(u)=\dfrac{1}{\cos(u)}. Para \operatorname{tg}(u(x)) teremos \operatorname{sec}^2(u(x))\cdot u'(x).

Passo 3

Explicando a regra da cadeia (muito importante aqui): se h(x)=g(u(x)), ou seja, uma função g aplicada a outra u(x), então
h'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Interpretação: derivamos a função externa g avaliando em u(x) e multiplicamos pela derivada da função interna u(x). É como “descascar” camadas: derivada de fora vezes derivada de dentro. Vou aplicar isso termo a termo.

Passo 4

Derivada do primeiro termo \operatorname{sen}(5x).
  • Aqui a função interna é u(x)=5x. Derivada de u é u'(x)=5.
  • Aplicando regra da cadeia e a regra do seno:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(5x)=\cos(5x)\cdot 5.
Podemos escrever de forma mais bonita como
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(5x)=5\cos(5x).
Comentário: multiplicar por 5 vem do fato que derivada de 5x é 5.

Passo 5

Derivada do segundo termo \cos\!\left(\frac{x}{7}\right).
  • A função interna é v(x)=\dfrac{x}{7}. Derivada de v é v'(x)=\dfrac{1}{7}.
  • Aplicando regra da cadeia e a regra do cosseno:
\frac{d}{dx}\cos\!\left(\frac{x}{7}\right)=-\sin\!\left(\frac{x}{7}\right)\cdot \frac{1}{7}.
Ou seja
\frac{d}{dx}\cos\!\left(\frac{x}{7}\right)=-\frac{1}{7}\sin\!\left(\frac{x}{7}\right).

Passo 6

Derivada do terceiro termo \operatorname{tg}(\sqrt{x}).
  • Primeiro escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2}. Então a função interna é w(x)=x^{1/2}.
  • Derivada da parte interna usando a regra do poder:
w'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
(Explicação rápida: para x^{\alpha}, \dfrac{d}{dx}x^{\alpha}=\alpha x^{\alpha-1}. Aqui \alpha=\tfrac{1}{2}.)
  • Agora aplicamos a regra da cadeia com a derivada da tangente:
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(\sqrt{x})=\operatorname{sec}^2(\sqrt{x})\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Podemos também escrever \operatorname{sec}^2(\sqrt{x}) como \dfrac{1}{\cos^2(\sqrt{x})}, obtendo a forma equivalente
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}\,\cos^2(\sqrt{x})}.

Passo 7

Juntando as derivadas dos três termos (derivada é soma das derivadas termo a termo):
f'(x)=5\cos(5x)-\frac{1}{7}\sin\!\left(\frac{x}{7}\right)+\frac{\operatorname{sec}^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}.
Observação sobre domínio (útil na prova): a derivada do terceiro termo exige x>0 para evitar divisão por zero em \frac{1}{2\sqrt{x}}. Além disso \operatorname{tg}(\sqrt{x}) (e \operatorname{sec}^2(\sqrt{x})) só estão definidas quando \cos(\sqrt{x})\neq 0. Para os demais termos não há problema.

Resposta

f'(x)=5\cos(5x)-\frac{1}{7}\sin\!\left(\frac{x}{7}\right)+\frac{\operatorname{sec}^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}

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