Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
é o primeiro termo,
é o segundo termo e
é o terceiro termo. A tarefa é obter
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Relembrando regras básicas de derivação (vou explicar cada uma devagarinho):
- Regra da derivada da função seno: para qualquer função composta
,
Isso significa que se tivermos
, a derivada em relação a
será
(essa multiplicação é a chamada regra da cadeia; vou detalhar em seguida).
- Regra da derivada da função cosseno: para qualquer
,
Novamente, para
aplicamos a regra da cadeia:
.
- Regra da derivada da tangente: para qualquer
,
onde
. Para
teremos
.
Passo 3
Explicando a regra da cadeia (muito importante aqui): se
, ou seja, uma função
aplicada a outra
, então
Interpretação: derivamos a função externa
avaliando em
e multiplicamos pela derivada da função interna
. É como “descascar” camadas: derivada de fora vezes derivada de dentro. Vou aplicar isso termo a termo.
Passo 4
Derivada do primeiro termo
.
- Aqui a função interna é
. Derivada de é . - Aplicando regra da cadeia e a regra do seno:
Podemos escrever de forma mais bonita como
Comentário: multiplicar por
vem do fato que derivada de
é
.
Passo 5
Derivada do segundo termo
.
- A função interna é
. Derivada de é . - Aplicando regra da cadeia e a regra do cosseno:
Ou seja
Passo 6
Derivada do terceiro termo
.
- Primeiro escrevemos
. Então a função interna é . - Derivada da parte interna usando a regra do poder:
(Explicação rápida: para
,
. Aqui
.)
- Agora aplicamos a regra da cadeia com a derivada da tangente:
Podemos também escrever
como
, obtendo a forma equivalente
Passo 7
Juntando as derivadas dos três termos (derivada é soma das derivadas termo a termo):
Observação sobre domínio (útil na prova): a derivada do terceiro termo exige
para evitar divisão por zero em
. Além disso
(e
) só estão definidas quando
. Para os demais termos não há problema.