Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada:
Informações relevantes:
- A função está escrita com
, que é o mesmo que : . - A função só está definida quando o argumento do logaritmo é positivo, ou seja quando
. Portanto só faz sentido derivar para valores de tais que . - O objetivo é calcular
(a derivada de ) para os em que está definida.
Passo 2
Ideia do método: aqui temos uma composição — primeiro aplicamos
e depois aplicamos
. Para derivar composições usamos a regra da cadeia. Antes de aplicar a cadeia, vamos lembrar a fórmula da derivada do logaritmo em base
.
Lembrete útil (mudança de base): para qualquer
e base
,
,
onde
é o logaritmo natural. Essa igualdade é a chave para derivar logaritmos em bases diferentes da base
.
Passo 3
Derivada do logaritmo em base
: se
com
, aplicando a mudança de base temos
Como
é constante (não depende de
), ao derivar obtemos, pela regra da derivada do log natural e pela constante multiplicativa,
Portanto, regra prática: a derivada de
é
Aqui
é a função interna e
sua derivada.
Passo 4
Derivada da função seno: é uma regra básica que
(Isto é usado como fato conhecido; é a derivada da função trigonométrica seno.)
Passo 5
Agora aplicamos tudo ao nosso problema. Tome a função interna
Então
. Usando a fórmula da derivada do logaritmo em base
com
, temos
Expliquei: no numerador vai a derivada da parte interna (
) e no denominador vai a própria interna (
) multiplicada por
(por causa da base 10).
Passo 6
Simplificação e observação de forma alternativa: como
, podemos escrever a derivada de forma mais compacta:
Lembre-se do domínio: essa expressão só vale onde
. Nos pontos em que
a função original não está definida (logo a derivada também não existe aí).
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar): escolha
, que satisfaz
. Então
o que também vem de
.
Passo 8
Resumo final: a derivada foi obtida aplicando a regra da cadeia + a fórmula da derivada do logaritmo em base
, e usando que a derivada de
é
. Não esqueça de checar o domínio (
) antes de aplicar a fórmula.