Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\log _{10}(\operatorname{sen}(x))

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede sua derivada:
f(x)=\log_{10}(\operatorname{sen}(x)).
Informações relevantes:
  • A função está escrita com \operatorname{sen}(x), que é o mesmo que \sin x: \operatorname{sen}(x)=\sin x.
  • A função só está definida quando o argumento do logaritmo é positivo, ou seja quando \sin x>0. Portanto só faz sentido derivar f para valores de x tais que \sin x>0.
  • O objetivo é calcular f'(x) (a derivada de f) para os x em que f está definida.

Passo 2

Ideia do método: aqui temos uma composição — primeiro aplicamos \sin e depois aplicamos \log_{10}. Para derivar composições usamos a regra da cadeia. Antes de aplicar a cadeia, vamos lembrar a fórmula da derivada do logaritmo em base a.
Lembrete útil (mudança de base): para qualquer u>0 e base a>0, a\neq1,
\log_a u = \frac{\ln u}{\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural. Essa igualdade é a chave para derivar logaritmos em bases diferentes da base e.

Passo 3

Derivada do logaritmo em base a: se g(x)=\log_a(u(x)) com u(x)>0, aplicando a mudança de base temos
g(x)=\frac{\ln(u(x))}{\ln a}.
Como \ln a é constante (não depende de x), ao derivar obtemos, pela regra da derivada do log natural e pela constante multiplicativa,
g'(x)=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}.
Portanto, regra prática: a derivada de \log_a(u(x)) é
\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln a}.
Aqui u(x) é a função interna e u'(x) sua derivada.

Passo 4

Derivada da função seno: é uma regra básica que
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x.
(Isto é usado como fato conhecido; é a derivada da função trigonométrica seno.)

Passo 5

Agora aplicamos tudo ao nosso problema. Tome a função interna
u(x)=\sin x.
Então u'(x)=\cos x. Usando a fórmula da derivada do logaritmo em base 10 com a=10, temos
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln 10}=\frac{\cos x}{\sin x\,\ln 10}.
Expliquei: no numerador vai a derivada da parte interna ( \cos x) e no denominador vai a própria interna ( \sin x) multiplicada por \ln 10 (por causa da base 10).

Passo 6

Simplificação e observação de forma alternativa: como \dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x, podemos escrever a derivada de forma mais compacta:
f'(x)=\frac{1}{\ln 10}\cot x.
Lembre-se do domínio: essa expressão só vale onde \sin x>0. Nos pontos em que \sin x=0 a função original não está definida (logo a derivada também não existe aí).

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar): escolha x=\pi/6, que satisfaz \sin(\pi/6)=1/2>0. Então
f'(\pi/6)=\frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)\,\ln 10}=\frac{\sqrt{3}/2}{(1/2)\ln 10}=\frac{\sqrt{3}}{\ln 10},
o que também vem de \dfrac{1}{\ln 10}\cot(\pi/6)=\dfrac{1}{\ln 10}\sqrt{3}.

Passo 8

Resumo final: a derivada foi obtida aplicando a regra da cadeia + a fórmula da derivada do logaritmo em base a, e usando que a derivada de \sin x é \cos x. Não esqueça de checar o domínio ( \sin x>0) antes de aplicar a fórmula.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{\cos x}{\sin x\,\ln 10}=\frac{1}{\ln 10}\cot x

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