Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\sqrt[3]{\operatorname{sen}^{2}(x)}+\frac{1}{\cos ^{3}(x)}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\sqrt[3]{\operatorname{sen}^{2}(x)}+\frac{1}{\cos^{3}(x)}.
Informações dadas:
\text{(i)}\quad f(x)=\sqrt[3]{\operatorname{sen}^{2}(x)}+\frac{1}{\cos^{3}(x)}.
Não há outras condições explícitas no enunciado. A tarefa é obter f'(x) (a derivada de f em relação a x).

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função em potências, que fica mais fácil para diferenciar:
f(x)=(\sin^{2}x)^{1/3}+(\cos x)^{-3}.
Aqui troquei \operatorname{sen} por \sin (mesma coisa) e escrevi a raiz cúbica como expoente 1/3.

Passo 3

Vamos lembrar as regras que usaremos (com explicação simples):
  • Regra do poder composta (chain rule + power rule): se g(x)=u(x)^n, onde u depende de x e n é constante, então
g'(x)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada interna de u. Exemplo rápido e intuitivo: para h(x)=(3x+1)^2, temos u(x)=3x+1, n=2, u'(x)=3, logo h'(x)=2(3x+1)\cdot3.
  • Derivadas básicas de funções trigonométricas:
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Estas duas informações, combinadas com a regra do passo anterior, são tudo que precisamos.

Passo 4

Derivando a primeira parcela (\sin^{2}x)^{1/3}.
Defina u(x)=\sin^{2}x. Então u'(x)=2\sin x\cos x (usei a regra do produto para \sin^{2}x=\sin x\cdot\sin x ou observe que é (\sin x)^2 e aplicar chain/power rule).
Aplicando a regra do poder composta com n=1/3,
\frac{d}{dx}(\sin^{2}x)^{1/3}=\frac{1}{3}u(x)^{-2/3}\cdot u'(x) =\frac{1}{3}(\sin^{2}x)^{-2/3}\cdot(2\sin x\cos x).
Simplificando o coeficiente:
\frac{d}{dx}(\sin^{2}x)^{1/3}=\frac{2}{3}\,\sin x\cos x\,(\sin^{2}x)^{-2/3}.

Passo 5

Comentário didático sobre a primeira parcela:
  • A expressão (\sin^{2}x)^{-2/3} é bem definida sempre que \sin^{2}x\neq 0, isto é, quando \sin x\neq 0. Se \sin x=0 a fórmula dá divisão por zero e a derivada, na forma acima, explode — isso indica que em pontos com \sin x=0 a derivada pode não existir (ou pode ser um comportamento singular). Não precisamos aprofundar isso aqui, só fique com a intuição: a regra foi aplicada rigorosamente, mas o resultado exige \sin x\neq 0.

Passo 6

Derivando a segunda parcela (\cos x)^{-3}.
Use a regra do poder composta com v(x)=\cos x e expoente -3. Temos v'(x)=-\sin x. Então
\frac{d}{dx}(\cos x)^{-3}=-3(\cos x)^{-4}\cdot v'(x)=-3(\cos x)^{-4}\cdot(-\sin x).
Simplificando os sinais:
\frac{d}{dx}(\cos x)^{-3}=3\sin x\,(\cos x)^{-4}.
Observação: a própria função original já exige \cos x\neq 0 (porque tem 1/\cos^{3}x), então não consideramos pontos com \cos x=0.

Passo 7

Somando as duas derivadas (regra da soma: derivada da soma = soma das derivadas), obtemos
f'(x)=\frac{2}{3}\,\sin x\cos x\,(\sin^{2}x)^{-2/3}+3\sin x\,(\cos x)^{-4}.
Podemos fatorar \sin x se quisermos:
f'(x)=\sin x\left(\frac{2}{3}\cos x\,(\sin^{2}x)^{-2/3}+3(\cos x)^{-4}\right).

Passo 8

Resumo sobre domínio e validade da fórmula:
  • A expressão encontrada vale para os x tais que \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0.
  • Quando \cos x=0 a função f(x) não está definida (portanto não há derivada ali).
  • Quando \sin x=0 a parte originária \sqrt[3]{\sin^{2}x} é finita, mas a fórmula da derivada acima tem divisão por zero; nesses pontos a derivada, em geral, não existe (comportamento singular).
Força aí — você já tem a fórmula pronta para usar em questões de prova; se quiser, eu mostro como analisar a existência da derivada em x específicos tipo x=0 ou x=\pi.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{3}\,\sin x\cos x\,(\sin^{2}x)^{-2/3}+3\sin x\,(\cos x)^{-4}.

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