Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
Não há outras condições explícitas no enunciado. A tarefa é obter
(a derivada de
em relação a
).
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função em potências, que fica mais fácil para diferenciar:
Aqui troquei
por
(mesma coisa) e escrevi a raiz cúbica como expoente
.
Passo 3
Vamos lembrar as regras que usaremos (com explicação simples):
- Regra do poder composta (chain rule + power rule): se
, onde depende de e é constante, então
Aqui
é a derivada interna de
. Exemplo rápido e intuitivo: para
, temos
,
,
, logo
.
- Derivadas básicas de funções trigonométricas:
Estas duas informações, combinadas com a regra do passo anterior, são tudo que precisamos.
Passo 4
Derivando a primeira parcela
.
Defina
. Então
(usei a regra do produto para
ou observe que é
e aplicar chain/power rule).
Aplicando a regra do poder composta com ,
Aplicando a regra do poder composta com
Simplificando o coeficiente:
Passo 5
Comentário didático sobre a primeira parcela:
- A expressão
é bem definida sempre que , isto é, quando . Se a fórmula dá divisão por zero e a derivada, na forma acima, explode — isso indica que em pontos com a derivada pode não existir (ou pode ser um comportamento singular). Não precisamos aprofundar isso aqui, só fique com a intuição: a regra foi aplicada rigorosamente, mas o resultado exige .
Passo 6
Derivando a segunda parcela
.
Use a regra do poder composta com
e expoente
. Temos
. Então
Simplificando os sinais:
Observação: a própria função original já exige
(porque tem
), então não consideramos pontos com
.
Passo 7
Somando as duas derivadas (regra da soma: derivada da soma = soma das derivadas), obtemos
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 8
Resumo sobre domínio e validade da fórmula:
- A expressão encontrada vale para os
tais que e . - Quando
a função não está definida (portanto não há derivada ali). - Quando
a parte originária é finita, mas a fórmula da derivada acima tem divisão por zero; nesses pontos a derivada, em geral, não existe (comportamento singular).
Força aí — você já tem a fórmula pronta para usar em questões de prova; se quiser, eu mostro como analisar a existência da derivada em
específicos tipo
ou
.