Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é o produto de duas potências trigonométricas:
e . - Interpretação:
significa e significa .
O que se pede: - Encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Escolha do método e revisão das regras que vamos usar:
- Temos um produto de potências de funções trigonométricas. Existem duas abordagens naturais: aplicar a regra do produto e a regra da cadeia diretamente, ou usar diferenciação logarítmica (tomar log de ambos os lados) que costuma simplificar quando a função é um produto de potências.
- Vou usar diferenciação logarítmica porque reduz a derivação de potências a derivadas de logaritmos (menos contas e menos chance de erro com elevados expoentes).
- Relembrando fórmula importantes que usaremos:
- Regra da diferenciação logarítmica: se
e , então , logo . - Derivada de logaritmo:
(regra da cadeia). - Derivada das funções trigonométricas básicas:
- Derivada de
: Derivada de :
- Regra da diferenciação logarítmica: se
Passo 3
Aplicando a diferenciação logarítmica: seja
. Tomamos log natural dos dois lados:
Usando propriedades dos logaritmos (log do produto = soma dos logs; log de potência = expoente vezes log), obtemos:
Passo 4
Agora derivamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, pela regra da cadeia,
No lado direito, derivamos termo a termo usando as derivadas de
e
citadas antes:
Simplificando:
Passo 5
Isolando
(lembrando que
):
Substituindo
:
Passo 6
Agora fazemos a multiplicação e simplificação dos fatores para deixar a resposta numa forma mais concreta e habitual. Multiplicando o primeiro termo:
Multiplicando o segundo termo:
com sinal negativo na frente. Portanto
Passo 7
Podemos também fatorar um fator comum para ficar uma forma compacta e que muitas vezes é mais prática:
fator comum mínimo é . Extraindo esse fator:
fator comum mínimo é
Ambas as formas (a soma de dois termos ou a forma fatorada) estão corretas e equivalentes.