Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\operatorname{sen}^{76} x \cos ^{45} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{sen}^{76} x \cos^{45} x.
Informações dadas:
  • A função é o produto de duas potências trigonométricas: \operatorname{sen}^{76} x e \cos^{45} x.
  • Interpretação: \operatorname{sen}^{76} x significa (\operatorname{sen} x)^{76} e \cos^{45} x significa (\cos x)^{45}.
    O que se pede:
  • Encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Escolha do método e revisão das regras que vamos usar:
  • Temos um produto de potências de funções trigonométricas. Existem duas abordagens naturais: aplicar a regra do produto e a regra da cadeia diretamente, ou usar diferenciação logarítmica (tomar log de ambos os lados) que costuma simplificar quando a função é um produto de potências.
  • Vou usar diferenciação logarítmica porque reduz a derivação de potências a derivadas de logaritmos (menos contas e menos chance de erro com elevados expoentes).
  • Relembrando fórmula importantes que usaremos:
    • Regra da diferenciação logarítmica: se y=f(x)>0 e \ln y = g(x), então \dfrac{y'}{y}=g'(x), logo y' = y\cdot g'(x).
    • Derivada de logaritmo: \dfrac{d}{dx}\big(\ln u(x)\big) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} (regra da cadeia).
    • Derivada das funções trigonométricas básicas: \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big)=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\operatorname{sen} x.
    • Derivada de \ln(\operatorname{sen} x): \frac{d}{dx}\big(\ln(\operatorname{sen} x)\big)=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}.Derivada de \ln(\cos x): \frac{d}{dx}\big(\ln(\cos x)\big)=-\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}.

Passo 3

Aplicando a diferenciação logarítmica: seja y=f(x). Tomamos log natural dos dois lados:
\ln y = \ln\big(\operatorname{sen}^{76} x \cos^{45} x\big).
Usando propriedades dos logaritmos (log do produto = soma dos logs; log de potência = expoente vezes log), obtemos:
\ln y = 76\ln\big(\operatorname{sen} x\big) + 45\ln\big(\cos x\big).

Passo 4

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(\ln y\big)=\frac{y'}{y}.
No lado direito, derivamos termo a termo usando as derivadas de \ln(\operatorname{sen} x) e \ln(\cos x) citadas antes:
\frac{y'}{y} = 76\cdot\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} + 45\cdot\left(-\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\right).
Simplificando:
\frac{y'}{y} = 76\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} - 45\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}.

Passo 5

Isolando y' (lembrando que y=f(x)=\operatorname{sen}^{76} x \cos^{45} x):
y' = y\left(76\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} - 45\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\right).
Substituindo y:
y' = \operatorname{sen}^{76} x \cos^{45} x\left(76\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} - 45\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\right).

Passo 6

Agora fazemos a multiplicação e simplificação dos fatores para deixar a resposta numa forma mais concreta e habitual. Multiplicando o primeiro termo:
\operatorname{sen}^{76} x \cos^{45} x \cdot 76\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} =76\,\operatorname{sen}^{75} x \cos^{46} x.
Multiplicando o segundo termo:
\operatorname{sen}^{76} x \cos^{45} x \cdot 45\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} =45\,\operatorname{sen}^{77} x \cos^{44} x,
com sinal negativo na frente. Portanto
y' = 76\,\operatorname{sen}^{75} x \cos^{46} x - 45\,\operatorname{sen}^{77} x \cos^{44} x.

Passo 7

Podemos também fatorar um fator comum para ficar uma forma compacta e que muitas vezes é mais prática:
fator comum mínimo é \operatorname{sen}^{75} x \cos^{44} x. Extraindo esse fator:
y' = \operatorname{sen}^{75} x \cos^{44} x\big(76\cos^{2} x - 45\operatorname{sen}^{2} x\big).
Ambas as formas (a soma de dois termos ou a forma fatorada) estão corretas e equivalentes.

Resposta

f'(x)=76\,\operatorname{sen}^{75} x \cos^{46} x - 45\,\operatorname{sen}^{77} x \cos^{44} x
\text{(equivalente a)}\quad f'(x)=\operatorname{sen}^{75} x \cos^{44} x\big(76\cos^{2} x - 45\operatorname{sen}^{2} x\big)

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