Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x\bigl(\sqrt{x^{2}+1}-x\bigr).
Esse problema envolve regra do produto e regra da cadeia (para derivar \sqrt{x^{2}+1}).

Passo 2

Identificamos as funções para a regra do produto:
u(x)=x,\quad v(x)=\sqrt{x^{2}+1}-x.
Logo
u'(x)=1.

Passo 3

Agora calculamos v'(x). Temos
v(x)=\sqrt{x^{2}+1}-x.
Para \sqrt{x^{2}+1} usamos regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\sqrt{x^{2}+1} =\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
E \frac{d}{dx}(-x)=-1. Portanto
v'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}-1.

Passo 4

Aplicando regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =(\sqrt{x^{2}+1}-x) +x\Bigl(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}-1\Bigr).
Desenvolvendo e somando termos semelhantes:
f'(x) =\sqrt{x^{2}+1}-x +\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}-x =\sqrt{x^{2}+1}+\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}-2x.
Note que
\sqrt{x^{2}+1}+\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}} =\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}+1}} =\sqrt{x^{2}+1}.
Assim
f'(x)=\sqrt{x^{2}+1}-2x.

Resposta

f'(x)=\sqrt{x^{2}+1}-2x.

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