Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia: identificar a função externa e a interna e usar as derivadas de \cos(u) e de u=1/x.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\tfrac{1}{x}=x^{-1}
e a função externa
g(u)=\cos(u).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos cada derivada:
a) Derivada de g(u)=\cos(u) é
g'(u)=-\sin(u).
b) Derivada de u(x)=x^{-1} é
u'(x)=-1\cdot x^{-2}=-\tfrac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x)
temos
f'(x) = \bigl(-\sin\!(u)\bigr)\big|_{u=1/x}\;\times\;\bigl(-\tfrac{1}{x^{2}}\bigr) = \sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\,\tfrac{1}{x^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)}{x^{2}}.

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