Denote por \bar{f} a série de Fourier de uma função 2 \pi periódica f : I R \rightarrow I R. Dadas f, g: I R \rightarrow I R, 2 \pi periódicas e integráveis em [-\pi, \pi] e \alpha \in I R prove que:
b) \overline{f+g}=\bar{f}+\bar{g}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador “toma série de Fourier” é linear, isto é, para duas funções 2\pi-periódicas e integráveis f e g em [-\pi,\pi], vale
\overline{f+g} \;=\;\bar f + \bar g.
Vamos lembrar a definição dos coeficientes de Fourier e da própria série.
Passo 2
Para uma função h 2\pi-periódica e integrável, seus coeficientes de Fourier são dados por