Denote por \bar{f} a série de Fourier de uma função 2 \pi periódica f : I R \rightarrow I R. Dadas f, g: I R \rightarrow I R, 2 \pi periódicas e integráveis em [-\pi, \pi] e \alpha \in I R prove que:
b) \overline{f+g}=\bar{f}+\bar{g}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador “toma série de Fourier” é linear, isto é, para duas funções 2\pi-periódicas e integráveis f e g em [-\pi,\pi], vale
\overline{f+g} \;=\;\bar f + \bar g.
Vamos lembrar a definição dos coeficientes de Fourier e da própria série.

Passo 2

Para uma função h 2\pi-periódica e integrável, seus coeficientes de Fourier são dados por
a_{0}(h)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(t)\,dt, \quad a_{n}(h)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(t)\cos(nt)\,dt, \quad b_{n}(h)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(t)\sin(nt)\,dt
para todo n\ge1, e sua série de Fourier é
\bar h(x) =\frac{a_{0}(h)}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}(h)\cos(nx)+b_{n}(h)\sin(nx)\bigr].

Passo 3

Pela linearidade da integral, para cada n\ge0 temos
a_{n}(f+g) =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f(t)+g(t))\cos(nt)\,dt =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt +\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(t)\cos(nt)\,dt =a_{n}(f)+a_{n}(g),
e de modo análogo
b_{n}(f+g)=b_{n}(f)+b_{n}(g), \quad a_{0}(f+g)=a_{0}(f)+a_{0}(g).

Passo 4

Agora escrevemos a série de Fourier de f+g:
\overline{f+g}(x) =\frac{a_{0}(f+g)}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}(f+g)\cos(nx)+b_{n}(f+g)\sin(nx)\bigr].
Substituindo a_{n}(f+g)=a_{n}(f)+a_{n}(g) e b_{n}(f+g)=b_{n}(f)+b_{n}(g) obtemos
\overline{f+g}(x) =\frac{a_{0}(f)+a_{0}(g)}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[(a_{n}(f)+a_{n}(g))\cos(nx)+(b_{n}(f)+b_{n}(g))\sin(nx)\Bigr].
Agrupando termos de f e de g separadamente, isto é
\frac{a_{0}(f)}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl[a_{n}(f)\cos(nx)+b_{n}(f)\sin(nx)\bigr] \;+\; \frac{a_{0}(g)}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl[a_{n}(g)\cos(nx)+b_{n}(g)\sin(nx)\bigr],
vemos que isso é exatamente \bar f(x)+\bar g(x).

Resposta

\displaystyle \overline{f+g}=\bar f+\bar g.

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