Considere f(x, y)=\exp (x+2 y)-\cos (x-y). (a) Encontre L(x, y) em ( 0,0 ). (b) Use L para aproximar \mathrm{f}(0.05,-0.04).
Assinale o valor obtido em (b):
a) 1.01
b) 0,97
c) 1.04
d) 0.95

Passo 1

O enunciado pede a linearização (aproximação de primeira ordem) de
f(x,y)=\exp(x+2y)\;-\;\cos(x-y)
no ponto (0,0) e, em seguida, usar essa linearização para aproximar f(0,05,-0,04).

Passo 2

Primeiro calculamos o valor de f e suas derivadas parciais em (0,0).
f(0,0)=\exp(0+0)\;-\;\cos(0-0)=1-1=0.
As derivadas parciais são
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl[e^{x+2y}\bigr]\;-\;\frac{\partial}{\partial x}\bigl[\cos(x-y)\bigr] =e^{x+2y}+\sin(x-y),
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl[e^{x+2y}\bigr]\;-\;\frac{\partial}{\partial y}\bigl[\cos(x-y)\bigr] =2\,e^{x+2y}-\sin(x-y).
Em (0,0) isso dá
f_x(0,0)=1+0=1, \quad f_y(0,0)=2-0=2.

Passo 3

A linearização de f em (0,0) é
L(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y =0 + 1\cdot x + 2\cdot y = x + 2y.

Passo 4

Agora aproximamos
f(0,05,-0,04)\approx L(0,05,-0,04) =0,05 + 2\,( -0,04) =0,05 -0,08 =-0,03.
Isso significa que a variação em relação ao valor-base é -0,03.

Passo 5

Convertendo essa variação para um valor absoluto em torno de 1 (como fazem as opções), temos
1 + (-0,03)=0,97.
Entre as alternativas fornecidas, isso corresponde à letra (b).

Resposta

(b) 0,97

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