Calcule as seguintes derivadas.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função $ h(x) = \frac{\cos x}{6x^{3}} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a Regra do Quociente, que é útil quando temos uma função dividida por outra. Também vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão compor nossa aplicação da Regra do Quociente. Temos:
- Numerador: $ g(x) = \cos x $
- Denominador: $ k(x) = 6x^{3} $
Passo 3
A Regra do Quociente nos diz que se temos uma função $ f(x) = \frac{g(x)}{k(x)} $, então a derivada $ f’(x) $ é dada por:
Isso significa que vamos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois aplicar essa fórmula.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ g(x) $ e $ k(x) $:
-
Derivada de $ g(x) = \cos x $:Sabemos que a derivada de $ \cos x $ é:
-
Derivada de $ k(x) = 6x^{3} $:Usando a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^{n} $ é $ nx^{n-1} $, temos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente com as derivadas que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
-
Numerador:
-
Denominador:
Então, a derivada fica:
Passo 7
Podemos simplificar ainda mais dividindo todos os termos por 6x²:
Resposta
Portanto, a derivada da função $ h(x) = \frac{\cos x}{6x^{3}} $ é: