Calcule as seguintes derivadas.
h(x)=cos x6 x^3

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função $ h(x) = \frac{\cos x}{6x^{3}} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a Regra do Quociente, que é útil quando temos uma função dividida por outra. Também vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão compor nossa aplicação da Regra do Quociente. Temos:
  • Numerador: $ g(x) = \cos x $
  • Denominador: $ k(x) = 6x^{3} $

Passo 3

A Regra do Quociente nos diz que se temos uma função $ f(x) = \frac{g(x)}{k(x)} $, então a derivada $ f’(x) $ é dada por:
f(x) = g(x)k(x)
Isso significa que vamos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois aplicar essa fórmula.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de $ g(x) $ e $ k(x) $:
  • Derivada de $ g(x) = \cos x $:
    Sabemos que a derivada de $ \cos x $ é:
    g(x)
  • Derivada de $ k(x) = 6x^{3} $:
    Usando a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^{n} $ é $ nx^{n-1} $, temos:
    k(x)

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente com as derivadas que encontramos:
h'(x) = g'(x)k(x) - g(x)k'(x)[k(x)]^2 = (-sin x)(6x^3) - (cos x)(18x^2)(6x^3)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador e o denominador:
  • Numerador:
    (-sin x)(6x^3) - (cos x)(18x^2) = -6x^3 sin x - 18x^2 cos x
  • Denominador:
    (6x^3)^2 = 36x^6
Então, a derivada fica:
h'(x) = -6x^3 sin x - 18x^2 cos x 36x^6

Passo 7

Podemos simplificar ainda mais dividindo todos os termos por 6x²:
h'(x) = -6x^3 sin x - 18x^2 cos x 36x^6 = -x sin x - 3 cos x 6x^4

Resposta

Portanto, a derivada da função $ h(x) = \frac{\cos x}{6x^{3}} $ é:
h(x) = cos x6x^3

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