A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x (metros) é dada por x=5-2 t+t^4. No tempo t=2 (segundos), calcule:
c) a aceleração instantânea.

Passo 1

Vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos a posição de uma partícula ao longo do eixo x, dada pela função x = 5 - 2t + t^4. O que queremos descobrir é a aceleração instantânea dessa partícula no tempo t=2 segundos. Para chegar lá, vamos precisar derivar a função posição para achar a velocidade e, depois, derivar a velocidade para encontrar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função x(t):
x(t) = 5 - 2t + t^4
Derivando cada termo:
  • A derivada de 5 é 0 (porque é uma constante).
  • A derivada de -2t é -2.
  • A derivada de t^4 é 4t^3.
Então, a velocidade v(t) é:
v(t) = dxdt = -2 + 4t^3

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos derivar a função v(t) que encontramos:
v(t) = -2 + 4t^3
Derivando cada termo:
  • A derivada de -2 é 0.
  • A derivada de 4t^3 é 12t^2.
Então, a aceleração a(t) é:
a(t) = dvdt = 12t^2

Passo 4

Agora é só substituir o valor de t=2 na expressão da aceleração:
a(2) = 12 times (2)^2 = 12 times 4 = 48 , m/s^2

Resposta

A aceleração instantânea da partícula no tempo t=2 segundos é 48 , m/s^2.

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