Calcule as seguintes derivadas:
(i) Qual é a derivada da função f:[0, \pi / 2) \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\sqrt[3]{\operatorname{tg}(x)} ?

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[3]{\tan(x)} = \bigl(\tan(x)\bigr)^{\!1/3}
definida em [0,\pi/2). Para isso, vamos usar a regra da cadeia e lembrar que a derivada de \tan(x) é \operatorname{sec}^2(x).

Passo 2

Definimos funções auxiliares para aplicar a cadeia:
h(x)=\tan(x) e g(u)=u^{1/3}. A derivada de g em função de u é
g'(u)=\frac{1}{3}\,u^{-2/3}.

Passo 3

A derivada de h(x)=\tan(x) em função de x é
h'(x)=\operatorname{sec}^2(x).

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x) =\frac{1}{3}\,\bigl(\tan(x)\bigr)^{-2/3}\cdot\operatorname{sec}^2(x).

Resposta

f'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2(x)}{3\,\bigl(\tan(x)\bigr)^{2/3}}.

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