Considere uma função f: I \rightarrow \mathbb{R}, onde I é um intervalo. Defina a noção de primitiva de f. Apresente um exemplo para ilustrar a definição.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é uma primitiva de uma função f\colon I\to\mathbb{R}, onde I é um intervalo, e apresentar um exemplo que ilustre essa definição. Para isso vamos usar o conceito de derivada.

Passo 2

Dizemos que uma função F\colon I\to\mathbb{R} é uma primitiva de f em I se
  1. F é diferenciável em todo ponto de I;
  2. para todo x\in I vale
F'(x)=f(x).

Passo 3

Como exemplo, considere f(x)=2x definido em I=\mathbb{R}. Uma função F que satisfaz F'(x)=2x é
F(x)=x^2 + C,
onde C é constante. De fato,
\frac{d}{dx}\bigl(x^2 + C\bigr)=2x=f(x),
logo F(x)=x^2+C é uma primitiva de f(x)=2x.

Resposta

Uma função F\colon I\to\mathbb{R} é primitiva de f em I se for diferenciável em I e satisfizer F'(x)=f(x) para todo x\in I. Exemplo: para f(x)=2x, uma primitiva é F(x)=x^2+C.

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