Calcule as seguintes derivadas indicadas:
f(x)=cos x-x^43, f^(42)(x);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a 42ª derivada da função $ f(x) = \cos x - x^{43} $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar funções trigonométricas e polinomiais. A derivada de $ \cos x $ segue um ciclo a cada quatro derivadas:
cos x
Então, a cada quatro derivadas, a função volta a ser $ \cos x $, mas com sinais alternados.

Passo 3

Agora, vamos ver a parte polinomial da função, que é $ x^{43} $. A derivada de uma potência de $ x $ é dada por:
x^43
Essa fórmula vale enquanto $ m \geq n $. No nosso caso, $ m = 43 $ e $ n = 42 $.

Passo 4

Aplicando a fórmula para $ x^{43} $:
x^43

Passo 5

Voltando à parte da função trigonométrica, precisamos calcular a 42ª derivada de $ \cos x $. Como o ciclo das derivadas de $ \cos x $ se repete a cada 4 derivadas, vamos dividir 42 por 4:
cos x
Isso significa que a 42ª derivada de $ \cos x $ é igual à segunda derivada:
cos x

Resposta

A 42ª derivada da função é:
f^(42)(x) = -cos x - 43! cdot x

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