Calcule as seguintes derivadas indicadas:
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Passo 1
Vamos calcular a derivada da função $ y = \sin^{2}(\cos(\tan x)) $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, identificamos as camadas de funções dentro de $ y $:
- A função mais interna é $ v = \tan x $.
- Em seguida, temos $ u = \cos(v) = \cos(\tan x) $.
- Por último, $ y = \sin^{2}(u) = \sin^{2}(\cos(\tan x)) $.
Passo 3
Vamos começar derivando a função externa em relação à sua variável intermediária. A derivada de $ y = \sin^{2}(u) $ em relação a $ u $ é:
Isso usa a regra da potência combinada com a derivada do seno.
Passo 4
Agora, derivamos a próxima camada, que é $ u = \cos(v) $, em relação a $ v $:
Aqui usamos a derivada da função cosseno.
Passo 5
Por fim, derivamos $ v = \tan x $ em relação a $ x $:
Esta é a derivada da tangente.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos todas as derivadas que encontramos:
Substituindo $ u = \cos(\tan x) $ e $ v = \tan x $:
Resposta
A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é: