Calcule as seguintes derivadas indicadas:
y=sen^2(cos (tg x)), d yd x;

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função $ y = \sin^{2}(\cos(\tan x)) $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identificamos as camadas de funções dentro de $ y $:
  1. A função mais interna é $ v = \tan x $.
  2. Em seguida, temos $ u = \cos(v) = \cos(\tan x) $.
  3. Por último, $ y = \sin^{2}(u) = \sin^{2}(\cos(\tan x)) $.

Passo 3

Vamos começar derivando a função externa em relação à sua variável intermediária. A derivada de $ y = \sin^{2}(u) $ em relação a $ u $ é:
y = sin^2(u)
Isso usa a regra da potência combinada com a derivada do seno.

Passo 4

Agora, derivamos a próxima camada, que é $ u = \cos(v) $, em relação a $ v $:
u = cos(v)
Aqui usamos a derivada da função cosseno.

Passo 5

Por fim, derivamos $ v = \tan x $ em relação a $ x $:
v = tan x
Esta é a derivada da tangente.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos todas as derivadas que encontramos:
dydx = dydu cdot dudv cdot dvdx = 2 sin(u) cos(u) cdot (-sin(v)) cdot sec^2(x)
Substituindo $ u = \cos(\tan x) $ e $ v = \tan x $:
u = cos(tan x)

Resposta

A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y

Exercícios relacionados