Dada a função
, encontre os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento, onde a curva tem concavidade positiva ou negativa, ponto(s) de inflexão. (8 escores)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a função $ f(x) = x^{3} - 3x + 2 $ e precisa encontrar os pontos críticos, saber onde a função está crescendo ou decrescendo, verificar onde a curva está “sorrindo” ou “chorando” (concavidade) e identificar os pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente as derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada da função. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, resolvemos $ f’(x) = 0 $:
Então, os pontos críticos são $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Passo 4
Vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo analisando o sinal da primeira derivada nos intervalos determinados pelos pontos críticos.
Dividimos a reta real em três intervalos: $ (-\infty, -1) $, $ (-1, 1) $ e $ (1, +\infty) $.
-
Intervalo $ (-\infty, -1) $:
Escolha $ x = -2 $:Como $ f’(-2) > 0 $, a função está crescendo nesse intervalo. -
Intervalo $ (-1, 1) $:
Escolha $ x = 0 $:Como $ f’(0) < 0 $, a função está decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo $ (1, +\infty) $:
Escolha $ x = 2 $:Como $ f’(2) > 0 $, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade da curva.
Passo 6
A concavidade da curva depende do sinal da segunda derivada:
- Concavidade positiva ($ f’’(x) > 0 $): A função está “sorrindo”.
- Concavidade negativa ($ f’’(x) < 0 $): A função está “chorando”.
Vamos resolver $ f’’(x) = 6x $:
Passo 7
Por fim, os pontos de inflexão são onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Vamos encontrar onde $ f’’(x) = 0 $:
Então, há um ponto de inflexão em $ x = 0 $.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x) = x^{3} - 3x + 2 $ são $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
A função está crescendo nos intervalos $ (-\infty, -1) $ e $ (1, +\infty) $, e decrescendo no intervalo $ (-1, 1) $.
A concavidade é negativa para $ x < 0 $ e positiva para $ x > 0 $.
Há um ponto de inflexão em $ x = 0 $.