Calcule as seguintes derivadas indicadas:
x-y e^x+e^y=0, d xd y e d yd x.

Passo 1

A questão dá a equação implícita x - y e^x + e^y = 0. O conteúdo é derivação implícita, e vamos precisar aplicar a regra do produto (para y e^x) e a regra da cadeia (para e^y) para encontrar tfracdydx e depois tfracdxdy.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
ddxl(xr) - ddxl(y e^xr) + ddxl(e^yr) = 0
Aplicando as regras: d(x)/dx = 1, regra do produto em y e^x y' e^x + y e^x e na cadeia d(e^y)/dx = e^y cdot y', onde y' = dy/dx.

Passo 3

Substituindo essas derivadas na equação e coletando dy/dx:
1 - l(y' e^x + y e^xr) + e^y y' = 0
1 - y e^x + y'(e^y - e^x) = 0
Isolando y' = dy/dx:
y'(e^y - e^x) = y e^x - 1
dydx = y e^x - 1e^y - e^x

Passo 4

Para encontrar dx/dy, basta inverter o quociente obtido para dy/dx:
dxdy = 1dy/dx = e^y - e^xy e^x - 1

Resposta

dydx=y e^x - 1e^y - e^x, dxdy=e^y - e^xy e^x - 1

Exercícios relacionados