Encontre uma equação da reta tangente e da reta normal à curva f(x)=x-x^3 no ponto de abscissa x=1. (4 escores)

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva f(x)=x−x³ no ponto de abscissa x=1; vamos usar derivadas para achar o coeficiente angular da tangente e, em seguida, a normal.

Passo 2

Calculamos o valor da função no ponto: y₀ = f(1) = 1 − 1³ = 0.
Derivamos f(x): f '(x) = 1 − 3x² e avaliamos em x=1: f '(1) = 1 − 3·1² = −2, que é o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 3

Escrevemos a reta tangente usando a forma ponto-inclinação: y − y₀ = m (x − 1) com m = −2 e y₀ = 0, resultando em y = −2x + 2.

Passo 4

O coeficiente angular da reta normal é o negativo do inverso de m_tangente, ou seja m_normal = 1/2. Usando o mesmo ponto (1,0), temos y − 0 = (1/2)(x − 1), ou y = (1/2)x − 1/2.

Resposta

Reta tangente: y=-2x+2. Reta normal: y=tfrac12 x-tfrac12.

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