Se
e
É possível concluir que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificar se, com as condições dadas, conseguimos concluir que $ m - 2n + 4 = 0 $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e desigualdades envolvendo funções. Basicamente, vamos analisar o comportamento da função $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 4 e como isso afeta a desigualdade apresentada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que $ \lim_{x \rightarrow 4} f(x) + 2 = 0 $. Isso quer dizer que, quando $ x $ se aproxima de 4, a função $ f(x) $ se aproxima de $ -2 $. Matemáticamente, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos analisar a desigualdade dada:
Como queremos entender o comportamento quando $ x $ se aproxima de 4, vamos substituir $ x $ por 4 na desigualdade. Mas antes, precisamos saber o valor de $ f(4) $.
Passo 4
Sabemos que $ \lim_{x \rightarrow 4} f(x) = -2 $, então podemos assumir que $ f(4) = -2 $ (desde que $ f(x) $ seja contínua em 4). Substituindo $ f(4) = -2 $ na desigualdade:
Vamos simplificar isso.
Passo 5
Calculando cada parte:
- $ 4(4) - 18 = 16 - 18 = -2 $
- $ 4^{2} - 4(4) -2 = 16 - 16 -2 = -2 $
Então, a desigualdade fica:
Passo 6
Quando uma expressão está “entre” dois valores iguais, isso significa que ela é exatamente igual a esse valor. Portanto:
Passo 7
Agora, para eliminar a raiz cúbica, vamos elevar ambos os lados ao cubo:
Simplificando:
Passo 8
Vamos simplificar essa equação dividindo tudo por 2:
Queremos chegar na expressão $ m - 2n + 4 = 0 $. Vamos manipular a equação para isso.
Passo 9
Primeiro, podemos resolver a equação $ 2m + n = -4 $ para uma das variáveis. Por exemplo, isolando $ n $:
Agora, substituímos esse valor na expressão $ m - 2n + 4 $:
Queremos que $ 5m + 12 = 0 $, o que implicaria que:
Entretanto, isso nos leva a uma contradição com a equação inicial, indicando que nossa suposição pode estar errada ou que a relação $ m - 2n + 4 = 0 $ não se segue diretamente das condições dadas.
Resposta
Não, com as condições fornecidas não é possível concluir que $ m - 2n + 4 = 0 $.