Se lim x 4 f(x)+2=0 e 4 x-18 <= raiz[3]4 m-n f(x) <= x^2-4 x-2, forall x>0 É possível concluir que:
m-2 n+4=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificar se, com as condições dadas, conseguimos concluir que $ m - 2n + 4 = 0 $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e desigualdades envolvendo funções. Basicamente, vamos analisar o comportamento da função $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 4 e como isso afeta a desigualdade apresentada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que $ \lim_{x \rightarrow 4} f(x) + 2 = 0 $. Isso quer dizer que, quando $ x $ se aproxima de 4, a função $ f(x) $ se aproxima de $ -2 $. Matemáticamente, podemos escrever:
limx 4 f(x) + 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos analisar a desigualdade dada:
4x - 18 <= raiz[3]4m - n f(x) <= x^2 - 4x -2 forall x > 0
Como queremos entender o comportamento quando $ x $ se aproxima de 4, vamos substituir $ x $ por 4 na desigualdade. Mas antes, precisamos saber o valor de $ f(4) $.

Passo 4

Sabemos que $ \lim_{x \rightarrow 4} f(x) = -2 $, então podemos assumir que $ f(4) = -2 $ (desde que $ f(x) $ seja contínua em 4). Substituindo $ f(4) = -2 $ na desigualdade:
limx 4 f(x) = -2
Vamos simplificar isso.

Passo 5

Calculando cada parte:
  • $ 4(4) - 18 = 16 - 18 = -2 $
  • $ 4^{2} - 4(4) -2 = 16 - 16 -2 = -2 $
Então, a desigualdade fica:
4(4) - 18 = 16 - 18 = -2

Passo 6

Quando uma expressão está “entre” dois valores iguais, isso significa que ela é exatamente igual a esse valor. Portanto:
raiz[3]4m + 2n = -2

Passo 7

Agora, para eliminar a raiz cúbica, vamos elevar ambos os lados ao cubo:
(raiz[3]4m + 2n)^3 = (-2)^3
Simplificando:
4m + 2n = -8

Passo 8

Vamos simplificar essa equação dividindo tudo por 2:
2m + n = -4
Queremos chegar na expressão $ m - 2n + 4 = 0 $. Vamos manipular a equação para isso.

Passo 9

Primeiro, podemos resolver a equação $ 2m + n = -4 $ para uma das variáveis. Por exemplo, isolando $ n $:
2m + n = -4
Agora, substituímos esse valor na expressão $ m - 2n + 4 $:
n
Queremos que $ 5m + 12 = 0 $, o que implicaria que:
n = -4 - 2m
Entretanto, isso nos leva a uma contradição com a equação inicial, indicando que nossa suposição pode estar errada ou que a relação $ m - 2n + 4 = 0 $ não se segue diretamente das condições dadas.

Resposta

Não, com as condições fornecidas não é possível concluir que $ m - 2n + 4 = 0 $.

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