Calcule as seguintes derivadas, justificando cada passagem:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas e observações úteis:
- A função é uma razão entre duas funções: numerador
e denominador . - A derivada só faz sentido nos pontos em que o denominador existe e é diferente de zero, isto é, para
tais que (ou seja, ). - Objetivo: calcular
e justificar cada passo.
Passo 2
Escolha do método: como a função é uma fração
, o método mais direto e didático é usar a regra do quociente. Vou explicar essa regra antes de aplicá-la.
Regra do quociente (fórmula):
Se
Se
então, desde que
,
O que essa fórmula diz, em palavras: a derivada do quociente é (derivada do numerador vezes o denominador) menos (numerador vezes derivada do denominador), tudo dividido pelo quadrado do denominador. Cada termo representa como o numerador e o denominador variam.
Passo 3
Identificamos as funções
e
do quociente:
Agora calculamos
e
.
Derivada de
:
A regra de potência diz que, para , temos
. Aplicando com
,
A regra de potência diz que, para
Derivada de
:
É um resultado padrão do cálculo que a derivada da função seno é o cosseno:
É um resultado padrão do cálculo que a derivada da função seno é o cosseno:
Intuitivamente, isso vem do limite do quociente incremental e de limites trigonométricos fundamentais; para a resolução prática em prova, memorize que
. Assim,
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente com os valores obtidos:
Vou detalhar o numerador passo a passo:
-
. -
.
Subtraindo, o numerador fica.
O denominador é.
Portanto,
Passo 5
Podemos simplificar a expressão factorizando
no numerador (isso costuma deixar a expressão mais elegante e útil em provas):
Substituindo:
Como alternativa (apenas para saber manipular), podemos também escrever a derivada usando funções recíprocas e cotangente:
visto que
e
. Ambas as formas são equivalentes às anteriores.
Passo 6
Observação final sobre domínio: todas as formas obtidas são válidas somente onde
. Em um ponto em que
a função inicial não está definida, logo não faz sentido falar de derivada ali.
Força aí — você já tem a fórmula e várias maneiras de escrever a derivada; na prova escolha a que ficar mais confortável para manipular.