Calcule as seguintes derivadas, justificando cada passagem:
\frac{x^{2}}{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{x^{2}}{\operatorname{sen}(x)}.
Informações dadas e observações úteis:
  • A função é uma razão entre duas funções: numerador x^{2} e denominador \operatorname{sen}(x).
  • A derivada só faz sentido nos pontos em que o denominador existe e é diferente de zero, isto é, para x tais que \operatorname{sen}(x)\neq 0 (ou seja, x\notin \{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}).
  • Objetivo: calcular f'(x) e justificar cada passo.

Passo 2

Escolha do método: como a função é uma fração \dfrac{u(x)}{v(x)}, o método mais direto e didático é usar a regra do quociente. Vou explicar essa regra antes de aplicá-la.
Regra do quociente (fórmula):
Se
h(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então, desde que v(x)\neq 0,
h'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
O que essa fórmula diz, em palavras: a derivada do quociente é (derivada do numerador vezes o denominador) menos (numerador vezes derivada do denominador), tudo dividido pelo quadrado do denominador. Cada termo representa como o numerador e o denominador variam.

Passo 3

Identificamos as funções u e v do quociente:
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=\operatorname{sen}(x).
Agora calculamos u'(x) e v'(x).
Derivada de u(x)=x^{2}:
A regra de potência diz que, para u(x)=x^{n}, temos u'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=2,
u'(x)=2x.
Derivada de v(x)=\operatorname{sen}(x):
É um resultado padrão do cálculo que a derivada da função seno é o cosseno:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(x)\big)=\cos(x).
Intuitivamente, isso vem do limite do quociente incremental e de limites trigonométricos fundamentais; para a resolução prática em prova, memorize que \big(\operatorname{sen}(x)\big)'=\cos(x). Assim,
v'(x)=\cos(x).

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente com os valores obtidos:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(2x)\,\operatorname{sen}(x)-x^{2}\,\cos(x)}{\big(\operatorname{sen}(x)\big)^{2}}.
Vou detalhar o numerador passo a passo:
  • u'(x)\,v(x)=(2x)\,\operatorname{sen}(x)=2x\,\operatorname{sen}(x).
  • u(x)\,v'(x)=x^{2}\,\cos(x).
    Subtraindo, o numerador fica 2x\,\operatorname{sen}(x)-x^{2}\cos(x).
    O denominador é \big(\operatorname{sen}(x)\big)^{2}.
Portanto,
f'(x)=\frac{2x\,\operatorname{sen}(x)-x^{2}\cos(x)}{\big(\operatorname{sen}(x)\big)^{2}}.

Passo 5

Podemos simplificar a expressão factorizando x no numerador (isso costuma deixar a expressão mais elegante e útil em provas):
2x\,\operatorname{sen}(x)-x^{2}\cos(x)=x\big(2\operatorname{sen}(x)-x\cos(x)\big).
Substituindo:
f'(x)=\frac{x\big(2\operatorname{sen}(x)-x\cos(x)\big)}{\big(\operatorname{sen}(x)\big)^{2}}.
Como alternativa (apenas para saber manipular), podemos também escrever a derivada usando funções recíprocas e cotangente:
f(x)=x^{2}\csc(x)\quad\Rightarrow\quad f'(x)=2x\csc(x)-x^{2}\csc(x)\cot(x),
visto que \csc(x)=\dfrac{1}{\operatorname{sen}(x)} e \cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}. Ambas as formas são equivalentes às anteriores.

Passo 6

Observação final sobre domínio: todas as formas obtidas são válidas somente onde \operatorname{sen}(x)\neq 0. Em um ponto em que \operatorname{sen}(x)=0 a função inicial não está definida, logo não faz sentido falar de derivada ali.
Força aí — você já tem a fórmula e várias maneiras de escrever a derivada; na prova escolha a que ficar mais confortável para manipular.

Resposta

\frac{x\big(2\operatorname{sen}(x)-x\cos(x)\big)}{\big(\operatorname{sen}(x)\big)^{2}}

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