Calcule as seguintes derivadas, justificando cada passagem:
\ln \left(2+x^{3}\right)+\ln (2)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a derivada da função dada:
f(x)=\ln\!\bigl(2+x^{3}\bigr)+\ln(2).
Informações relevantes fornecidas:
\text{a função é }f(x)=\ln\!\bigl(2+x^{3}\bigr)+\ln(2).çãé
Não há outras expressões a derivar; queremos f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Observação inicial útil: \ln(2) é uma constante (não depende de x). Sempre que tivermos uma constante C, a derivada de C é zero:
\frac{d}{dx}C=0.
Portanto
\frac{d}{dx}\ln(2)=0.

Passo 3

Focamos então na parte que depende de x: \ln\!\bigl(2+x^{3}\bigr). Para derivar uma composição do tipo \ln(u(x)) usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia, aplicada aqui, diz que se u=u(x) é diferenciável então
\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando: a derivada de \ln(u) em relação a u é 1/u; pela cadeia multiplicamos por du/dx, resultando em u'(x)/u(x).

Passo 4

Definimos u(x)=2+x^{3}. Agora calculamos u'(x):
u(x)=2+x^{3}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=0+3x^{2}=3x^{2}.
Aqui usei que a derivada de x^{3} é 3x^{2} (regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}).

Passo 5

Aplicando a fórmula da regra da cadeia do Passo 3 com u(x)=2+x^{3} e u'(x)=3x^{2}, obtemos:
\frac{d}{dx}\ln\!\bigl(2+x^{3}\bigr)=\frac{3x^{2}}{2+x^{3}}.
Somando a derivada da constante \ln(2) (que é zero, do Passo 2), a derivada total é
f'(x)=\frac{3x^{2}}{2+x^{3}}+0=\frac{3x^{2}}{2+x^{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{3x^{2}}{2+x^{3}}

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