Calcule as seguintes derivadas, justificando cada passagem:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
justificando cada passo. Informações relevantes:
é uma constante (aprox.
); a derivação é em relação a
. Observação importante: para manipular
via logaritmo usaremos
, portanto precisaremos supor
naquele passo (essa é a hipótese natural quando escrevemos
). A derivada final vale para os pontos onde cada termo é differentiável (em particular para
o termo
está bem definido).
Passo 2
Regra usada: a derivada é linear, isto é, a derivada da soma é a soma das derivadas. Assim
Vou calcular cada parcela separadamente e justificar.
Passo 3
Derivada de
(passo com justificativa completa). Reescrevemos usando exponencial e logaritmo (válido para
):
Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Aqui
. Então
Agora
é constante e
. Logo
Substituindo,
Voltando à forma em potências, usando
,
Portanto a derivada do primeiro termo é
.
Passo 4
Derivada de
(base constante, expoente variável). Reescrevemos usando exponencial:
Aqui
é constante. Pela regra da cadeia, com
,
Como
(produto de
por constante), obtemos
Portanto a derivada do segundo termo é
.
Passo 5
Derivada de
e de
. Regras básicas: a derivada de
em relação a
é
; a derivada de uma constante é
. Assim
Passo 6
Agora somamos todas as parcelas já calculadas (pela linearidade do passo 2):
Simplificando o zero final,