Calcule as seguintes derivadas, justificando cada passagem:
x^{\pi}+\pi^{x}+x+\pi

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{\pi}+\pi^{x}+x+\pi
e pede para calcular a derivada f'(x) justificando cada passo. Informações relevantes: \pi é uma constante (aprox. 3{,}1415\ldots); a derivação é em relação a x. Observação importante: para manipular x^{\pi} via logaritmo usaremos \ln x, portanto precisaremos supor x>0 naquele passo (essa é a hipótese natural quando escrevemos x^{\pi}=e^{\pi\ln x}). A derivada final vale para os pontos onde cada termo é differentiável (em particular para x>0 o termo x^{\pi} está bem definido).

Passo 2

Regra usada: a derivada é linear, isto é, a derivada da soma é a soma das derivadas. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(x^{\pi}+\pi^{x}+x+\pi\bigr) = \frac{d}{dx}x^{\pi}+\frac{d}{dx}\pi^{x}+\frac{d}{dx}x+\frac{d}{dx}\pi.
Vou calcular cada parcela separadamente e justificar.

Passo 3

Derivada de \,x^{\pi}\, (passo com justificativa completa). Reescrevemos usando exponencial e logaritmo (válido para x>0):
x^{\pi}=e^{\pi\ln x}.
Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)}\cdot u'(x). Aqui u(x)=\pi\ln x. Então
\frac{d}{dx}x^{\pi} = \frac{d}{dx}e^{\pi\ln x} = e^{\pi\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(\pi\ln x).
Agora \pi é constante e \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}. Logo
\frac{d}{dx}(\pi\ln x)=\pi\cdot\frac{1}{x}=\frac{\pi}{x}.
Substituindo,
\frac{d}{dx}x^{\pi}=e^{\pi\ln x}\cdot\frac{\pi}{x}.
Voltando à forma em potências, usando e^{\pi\ln x}=x^{\pi},
\frac{d}{dx}x^{\pi}=x^{\pi}\cdot\frac{\pi}{x}=\pi x^{\pi-1}.
Portanto a derivada do primeiro termo é \pi x^{\pi-1}.

Passo 4

Derivada de \,\pi^{x}\, (base constante, expoente variável). Reescrevemos usando exponencial:
\pi^{x}=e^{x\ln\pi}.
Aqui \ln\pi é constante. Pela regra da cadeia, com v(x)=x\ln\pi,
\frac{d}{dx}\pi^{x} = \frac{d}{dx}e^{x\ln\pi} = e^{x\ln\pi}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln\pi).
Como \frac{d}{dx}(x\ln\pi)=\ln\pi (produto de x por constante), obtemos
\frac{d}{dx}\pi^{x}=e^{x\ln\pi}\cdot\ln\pi=\pi^{x}\ln\pi.
Portanto a derivada do segundo termo é \pi^{x}\ln\pi.

Passo 5

Derivada de \,x\, e de \,\pi\,. Regras básicas: a derivada de x em relação a x é 1; a derivada de uma constante é 0. Assim
\frac{d}{dx}x=1,\qquad \frac{d}{dx}\pi=0.

Passo 6

Agora somamos todas as parcelas já calculadas (pela linearidade do passo 2):
f'(x)=\pi x^{\pi-1}+\pi^{x}\ln\pi+1+0.
Simplificando o zero final,
f'(x)=\pi x^{\pi-1}+\pi^{x}\ln\pi+1.

Resposta

\pi x^{\pi-1}+\pi^{x}\ln\pi+1

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