Uma pedra caiu num lago, produzindo uma ondulação circular que cresce a uma velocidade radial de
. Encontre a taxa segundo a qual a área dentro do círculo está crescendo depois de
Passo 1
O enunciado dá uma ondulação circular cuja velocidade radial é
e pede a taxa de variação da área dentro do círculo depois de
.\n
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- velocidade radial (variação do raio no tempo):
;\n - instante em que queremos a taxa:
;\n - precisamos encontrar
no instante , onde é a área do círculo.
Passo 2
Fórmula que relaciona área e raio: a área de um círculo é dada por
onde
é a área (em
) e
é o raio (em
).\n
Como o raio muda com o tempo ( ), a área também é função do tempo:
. Para saber como
varia no tempo usamos derivação de funções compostas (regra da cadeia).
Como o raio muda com o tempo (
Explicando a regra da cadeia de modo simples: se você tem uma função
que depende de
, e
por sua vez depende de
, então a taxa de variação de
em relação a
é a taxa de
em relação a
multiplicada pela taxa de
em relação a
. Matemáticamente:
Um exemplo rápido e intuitivo: se
(área de um quadrado) e
cresce a
, então
e
.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso: primeiro calculamos
a partir de
:
Portanto, usando a regra da cadeia,
Aqui
tem unidade
(porque
é adimensional e
tem
), e
tem unidade
, então
terá unidade
, que é coerente.
Passo 4
Precisamos avaliar
em
. Como a pedra começou a ondulação no instante em que caiu, é natural tomar
; com velocidade radial constante
obtemos, no instante
,
Passo 5
Agora substituímos
e
na fórmula da derivada:
Se quiser a aproximação decimal, usando
,
Passo 6
Dica para prova: memorize que, quando um círculo expande com velocidade radial
, a taxa de variação da área é sempre
. Basta achar
no instante pedido e multiplicar por
e por
. Força — você consegue!