Uma pedra caiu num lago, produzindo uma ondulação circular que cresce a uma velocidade radial de 30 \mathrm{~cm} / \\mathrm{s}. Encontre a taxa segundo a qual a área dentro do círculo está crescendo depois de
1 s

Passo 1

O enunciado dá uma ondulação circular cuja velocidade radial é 30\\ \mathrm{cm/s} e pede a taxa de variação da área dentro do círculo depois de 1\\ \mathrm{s}.\n
Informações relevantes que temos:
  • velocidade radial (variação do raio no tempo): \dfrac{dr}{dt}=30\\ \mathrm{cm/s};\n
  • instante em que queremos a taxa: t=1\\ \mathrm{s};\n
  • precisamos encontrar \dfrac{dA}{dt} no instante t=1\\ \mathrm{s}, onde A é a área do círculo.

Passo 2

Fórmula que relaciona área e raio: a área de um círculo é dada por
A=\pi r^{2},
onde \;A\; é a área (em \mathrm{cm}^{2}) e \;r\; é o raio (em \mathrm{cm}).\n
Como o raio muda com o tempo ( r=r(t)), a área também é função do tempo: A(t)=\pi [r(t)]^{2}. Para saber como A varia no tempo usamos derivação de funções compostas (regra da cadeia).
Explicando a regra da cadeia de modo simples: se você tem uma função A que depende de r, e r por sua vez depende de t, então a taxa de variação de A em relação a t é a taxa de A em relação a r multiplicada pela taxa de r em relação a t. Matemáticamente:
\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}.
Um exemplo rápido e intuitivo: se A=s^{2} (área de um quadrado) e s cresce a 2\\ \mathrm{cm/s}, então \dfrac{dA}{ds}=2s e \dfrac{dA}{dt}=2s\cdot\dfrac{ds}{dt}.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: primeiro calculamos \dfrac{dA}{dr} a partir de A=\pi r^{2}:
\frac{dA}{dr}=2\pi r.
Portanto, usando a regra da cadeia,
\frac{dA}{dt}=2\pi r\cdot\frac{dr}{dt}.
Aqui \;2\pi r\; tem unidade \mathrm{cm} (porque \pi é adimensional e r tem \mathrm{cm}), e \dfrac{dr}{dt} tem unidade \mathrm{cm/s}, então \dfrac{dA}{dt} terá unidade \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}, que é coerente.

Passo 4

Precisamos avaliar \dfrac{dA}{dt} em t=1\\ \mathrm{s}. Como a pedra começou a ondulação no instante em que caiu, é natural tomar r(0)=0; com velocidade radial constante \dfrac{dr}{dt}=30\\ \mathrm{cm/s} obtemos, no instante t=1\\ \mathrm{s},
r(1)=r(0)+\frac{dr}{dt}\cdot 1 = 0 + 30\cdot 1 = 30\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Agora substituímos r=30\\ \mathrm{cm} e \dfrac{dr}{dt}=30\\ \mathrm{cm/s} na fórmula da derivada:
\frac{dA}{dt}=2\pi r\cdot\frac{dr}{dt}=2\pi\cdot 30\cdot 30=1800\pi\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.
Se quiser a aproximação decimal, usando \pi\approx 3{,}14159,
1800\pi\approx 5654{,}87\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.

Passo 6

Dica para prova: memorize que, quando um círculo expande com velocidade radial \dfrac{dr}{dt}, a taxa de variação da área é sempre \dfrac{dA}{dt}=2\pi r\,\dfrac{dr}{dt}. Basta achar r no instante pedido e multiplicar por 2\pi e por \dfrac{dr}{dt}. Força — você consegue!

Resposta

1800\pi\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}\n
\approx 5654{,}87\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}

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