Uma pedra caiu num lago, produzindo uma ondulação circular que cresce a uma velocidade radial de 30 \mathrm{~cm} / \\mathrm{s}. Encontre a taxa segundo a qual a área dentro do círculo está crescendo depois de
3 s

Passo 1

O enunciado pede a rapidez com que a área dentro da ondulação circular está crescendo depois de 3\\ \mathrm{s}.
Informações dadas:
  • A velocidade radial (taxa de variação do raio) é \dfrac{dr}{dt}=30\\ \mathrm{cm/s}.
  • Queremos \dfrac{dA}{dt} no instante t=3\\ \mathrm{s}.
  • Pressupõe-se que a ondulação parte de um ponto (raio inicial r(0)=0), então o raio após t segundos é proporcional a t.

Passo 2

Definimos as variáveis e a relação entre área e raio:
  • Seja r(t) o raio da ondulação no tempo t. Unidade: \mathrm{cm}.
  • Seja A(t) a área do círculo de raio r(t). A área de um círculo é dada por
A(t)=\pi \, r(t)^2.
Explanação do passo matemático-chave (regra da cadeia): aqui A é uma função de r e r é função de t. Para encontrar \dfrac{dA}{dt} usamos a regra da cadeia: se A(r)=\pi r^2 e r=r(t), então
\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}.
Calculando \dfrac{dA}{dr}: como \dfrac{d}{dr}(r^2)=2r, temos \dfrac{dA}{dr}=\pi\cdot 2r=2\pi r. Portanto,
\frac{dA}{dt}=2\pi r\cdot\frac{dr}{dt}.
Aqui \dfrac{dr}{dt} é a velocidade radial (dada) e r é o raio no instante considerado.

Passo 3

Calcular o raio no instante t=3\\ \mathrm{s}. Como a velocidade radial é constante e assumimos r(0)=0, temos
r(t)=\frac{dr}{dt}\cdot t = 30\cdot t\\ (\mathrm{cm}).
Logo, em t=3\\ \mathrm{s},
r(3)=30\cdot 3=90\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Usar a fórmula da derivada da área e substituir os valores:
\frac{dA}{dt}=2\pi r\cdot\frac{dr}{dt}.
Substituindo r(3)=90\\ \mathrm{cm} e \dfrac{dr}{dt}=30\\ \mathrm{cm/s},
\frac{dA}{dt}\Big|_{t=3}=2\pi\cdot 90\cdot 30.

Passo 5

Fazer as contas numéricas passo a passo:
2\cdot 90=180,
180\cdot 30=5400,
portanto
\frac{dA}{dt}\Big|_{t=3}=5400\pi\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Se quiser uma aproximação decimal, usando \pi\approx 3{,}14159265,
5400\pi\approx 16964{,}6\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

Resposta

5400\pi\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}\approx 16964{,}6\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}

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