Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (i) determinar os intervalos onde
cresce e onde
decresce; (ii) esboçar o gráfico, calculando todos os limites necessários para justificar o esboço. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é um polinômio de grau
com coeficientes reais e está definida para todo
. Não há outras restrições.
Passo 2
Regra e cálculo da derivada (o que precisamos para monotonicidade).
- Pequena aula: para saber onde uma função cresce ou decresce usamos a derivada. Se
em um intervalo, cresce ali; se , decresce; se pode haver máximo, mínimo ou ponto de inflexão com tangente horizontal. - Regra usada: regra do poder (power rule). A derivada de
é . - Aplicando isso a
:
- Fatorando:
Passo 3
Encontrar pontos críticos e seus valores (passo obrigatória antes do estudo de sinais).
- Pontos onde
: resolver . Como , as soluções são
- Valores da função nesses pontos (úteis para esboço):
- Observação sobre multiplicidade:
é raiz de multiplicidade em (fator ). Isso costuma significar que o sinal de não muda ao atravessar (ponto crítico de ordem par).
Passo 4
Análise do sinal de
para determinar monotonicidade (faça uma tabela mental ou de número).
- Reescrevemos
. O fator é sempre e só é zero em . Portanto o sinal de depende essencialmente de . -
quando . quando (exceto onde é zero). - Dividimos a reta real em intervalos pelos pontos críticos:
. - Escolhendo um ponto em cada intervalo e avaliando o sinal:
- Para
(em ): e ⇒ . - Para
(em ): e ⇒ . - Para
(em ): ⇒ . - Para
(em ): ⇒ .
- Para
- Conclusão do sinal:
-
em . -
em . - Em
temos mas o sinal não muda (decrecente à esquerda e à direita), logo não é máximo nem mínimo (é ponto de tangente horizontal, ponto de inflexão do tipo “sela” ou platô).
-
Passo 5
Classificação dos pontos críticos (usar o teste da monotonicidade e, se quiser, segunda derivada).
- Pelo teste de mudança de sinal em
: - Em
: vai de (à esquerda) para (à direita) ⇒ é máximo local. O valor é . - Em
: vai de (à esquerda) para (à direita) ⇒ é mínimo local. O valor é . - Em
: muda de para (não muda) ⇒ não é extremum (é ponto crítico com tangente horizontal).
- Em
- (Opcional curta verificação pela segunda derivada): calcular
para checar concavidades:
Raízes de
:
e
. Essas trocas de sinal em
indicam pontos de inflexão e ajudam no esboço.
Passo 6
Limites necessários para o esboço do gráfico (comportamento nas extremidades).
- Como
é um polinômio de grau com coeficiente líder , tem comportamento ímpar: quando , ; quando , . Escrito:
- Observação útil: a função é ímpar, pois
. Isso confirma simetria rotacional de em torno da origem; portanto o esboço será simétrico nesse sentido.
Passo 7
Resumo para esboçar o gráfico (pontos chave e concavidade).
- Intervalos de monotonicidade (relembrando):
- Cresce em
e em . - Decresce em
e em .
- Cresce em
- Pontos importantes para marcar no esboço:
- Máximo local em
. - Tangente horizontal em
(ponto de inflexão do tipo platô). - Mínimo local em
.
- Máximo local em
- Concavidade (ajuda a desenhar curvas suaves):
-
(concavidade para baixo) em e em . -
(concavidade para cima) em e em . - Pontos de inflexão em
(valores nesses pontos podem ser calculados se quiser marcar exatamente).
-
- Descrição do esboço (passo a passo mental para desenhar):
- Para
a curva vem de e cresce até atingir o máximo em . - Então decresce passando por concavidades trocadas e chega a
com tangente horizontal (sem ser um extremo). - Continua decrescendo até o mínimo em
. - Depois cresce para
quando . - Pelo fato de ser função ímpar, o lado positivo espelha rotacionalmente o lado negativo.
- Para
- Com essas informações (limites nas extremidades, pontos críticos e concavidades) você já tem todos os dados para traçar um esboço fiel: eixo
, marcar no -eixo e os pontos , ligar suavemente respeitando as concavidades e o comportamento nas extremidades.
Resposta
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Limites nas extremidades:
Pontos críticos e valores: máximo local em , ponto crítico em
(tangente horizontal, sem extremo), mínimo local em
Intervalos de decrescimento:
Limites nas extremidades:
Pontos críticos e valores: máximo local em