Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).
f(x)=3 x^{5}-5 x^{3}\

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3 x^{5}-5 x^{3} e pede duas coisas: (i) determinar os intervalos onde f cresce e onde f decresce; (ii) esboçar o gráfico, calculando todos os limites necessários para justificar o esboço. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a função é um polinômio de grau 5 com coeficientes reais e está definida para todo x\in\mathbb{R}. Não há outras restrições.

Passo 2

Regra e cálculo da derivada (o que precisamos para monotonicidade).
  • Pequena aula: para saber onde uma função cresce ou decresce usamos a derivada. Se f'(x)>0 em um intervalo, f cresce ali; se f'(x)<0, f decresce; se f'(x)=0 pode haver máximo, mínimo ou ponto de inflexão com tangente horizontal.
  • Regra usada: regra do poder (power rule). A derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Aplicando isso a f(x)=3x^{5}-5x^{3}:
f'(x)=3\cdot 5 x^{4}-5\cdot 3 x^{2}=15x^{4}-15x^{2}.
  • Fatorando:
f'(x)=15x^{2}(x^{2}-1)=15x^{2}(x-1)(x+1).

Passo 3

Encontrar pontos críticos e seus valores (passo obrigatória antes do estudo de sinais).
  • Pontos onde f'(x)=0: resolver 15x^{2}(x-1)(x+1)=0. Como 15\neq0, as soluções são
x=0,\quad x=1,\quad x=-1.
  • Valores da função nesses pontos (úteis para esboço):
f(0)=3\cdot 0^{5}-5\cdot 0^{3}=0,
f(1)=3\cdot 1^{5}-5\cdot 1^{3}=3-5=-2,
f(-1)=3\cdot (-1)^{5}-5\cdot (-1)^{3}=-3+5=2.
  • Observação sobre multiplicidade: x=0 é raiz de multiplicidade 2 em f'(x) (fator x^{2}). Isso costuma significar que o sinal de f' não muda ao atravessar x=0 (ponto crítico de ordem par).

Passo 4

Análise do sinal de f'(x) para determinar monotonicidade (faça uma tabela mental ou de número).
  • Reescrevemos f'(x)=15x^{2}(x^{2}-1). O fator 15x^{2} é sempre \ge 0 e só é zero em x=0. Portanto o sinal de f' depende essencialmente de x^{2}-1.
  • x^{2}-1>0 quando |x|>1. x^{2}-1<0 quando |x|<1 (exceto x=0 onde é zero).
  • Dividimos a reta real em intervalos pelos pontos críticos: (-\infty,-1),\;(-1,0),\;(0,1),\;(1,\infty).
  • Escolhendo um ponto em cada intervalo e avaliando o sinal:
    • Para x=-2 (em (-\infty,-1)): x^{2}-1>0 e x^{2}>0 f'(x)>0.
    • Para x=-\tfrac{1}{2} (em (-1,0)): x^{2}-1<0 e x^{2}>0 f'(x)<0.
    • Para x=\tfrac{1}{2} (em (0,1)): x^{2}-1<0 f'(x)<0.
    • Para x=2 (em (1,\infty)): x^{2}-1>0 f'(x)>0.
  • Conclusão do sinal:
    • f'(x)>0 em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
    • f'(x)<0 em (-1,0)\cup(0,1).
    • Em x=0 temos f'(0)=0 mas o sinal não muda (decrecente à esquerda e à direita), logo x=0 não é máximo nem mínimo (é ponto de tangente horizontal, ponto de inflexão do tipo “sela” ou platô).

Passo 5

Classificação dos pontos críticos (usar o teste da monotonicidade e, se quiser, segunda derivada).
  • Pelo teste de mudança de sinal em f':
    • Em x=-1: f' vai de + (à esquerda) para - (à direita) ⇒ x=-1 é máximo local. O valor é f(-1)=2.
    • Em x=1: f' vai de - (à esquerda) para + (à direita) ⇒ x=1 é mínimo local. O valor é f(1)=-2.
    • Em x=0: f' muda de - para - (não muda) ⇒ x=0 não é extremum (é ponto crítico com tangente horizontal).
  • (Opcional curta verificação pela segunda derivada): calcular f''(x) para checar concavidades:
f''(x)=\frac{d}{dx}(15x^{4}-15x^{2})=60x^{3}-30x=30x(2x^{2}-1).
Raízes de f'': x=0 e x=\pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}. Essas trocas de sinal em f'' indicam pontos de inflexão e ajudam no esboço.

Passo 6

Limites necessários para o esboço do gráfico (comportamento nas extremidades).
  • Como f é um polinômio de grau 5 com coeficiente líder 3>0, tem comportamento ímpar: quando x\to+\infty, f(x)\to+\infty; quando x\to-\infty, f(x)\to-\infty. Escrito:
\lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty.
  • Observação útil: a função é ímpar, pois f(-x)=-f(x). Isso confirma simetria rotacional de 180^\circ em torno da origem; portanto o esboço será simétrico nesse sentido.

Passo 7

Resumo para esboçar o gráfico (pontos chave e concavidade).
  • Intervalos de monotonicidade (relembrando):
    • Cresce em (-\infty,-1) e em (1,\infty).
    • Decresce em (-1,0) e em (0,1).
  • Pontos importantes para marcar no esboço:
    • Máximo local em ( -1,\;2).
    • Tangente horizontal em (0,\;0) (ponto de inflexão do tipo platô).
    • Mínimo local em (1,\;-2).
  • Concavidade (ajuda a desenhar curvas suaves):
    • f''(x)<0 (concavidade para baixo) em (-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}) e em (0,\tfrac{1}{\sqrt{2}}).
    • f''(x)>0 (concavidade para cima) em (-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0) e em (\tfrac{1}{\sqrt{2}},\infty).
    • Pontos de inflexão em x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\;0,\;\tfrac{1}{\sqrt{2}} (valores f nesses pontos podem ser calculados se quiser marcar exatamente).
  • Descrição do esboço (passo a passo mental para desenhar):
    1. Para x\to -\infty a curva vem de -\infty e cresce até atingir o máximo em (-1,2).
    2. Então decresce passando por concavidades trocadas e chega a (0,0) com tangente horizontal (sem ser um extremo).
    3. Continua decrescendo até o mínimo em (1,-2).
    4. Depois cresce para +\infty quando x\to+\infty.
    5. Pelo fato de ser função ímpar, o lado positivo espelha rotacionalmente o lado negativo.
  • Com essas informações (limites nas extremidades, pontos críticos e concavidades) você já tem todos os dados para traçar um esboço fiel: eixo x, marcar -1,0,1 no x-eixo e os pontos (-1,2),(0,0),(1,-2), ligar suavemente respeitando as concavidades e o comportamento nas extremidades.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-\infty,-1)\cup(1,\infty)
Intervalos de decrescimento: (-1,0)\cup(0,1)
Limites nas extremidades: \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty,\\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty
Pontos críticos e valores: máximo local em (-1,2), ponto crítico em (0,0) (tangente horizontal, sem extremo), mínimo local em (1,-2)

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