Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=x^{4}\left(a-2 x^{3}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{4}\left(a-2x^{3}\right)^{2}
e pede para calcular a derivada de f em relação a x.
Informações relevantes: x é a variável; a é um parâmetro (constante em relação a x). A única pergunta é encontrar f'(x).

Passo 2

Relembrando duas regras que vamos usar (explicadas de forma bem didática):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções de x, então a derivada de u\cdot v é
(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
Aqui u' significa derivada de u em relação a x, idem para v'. A ideia é: derivar um fator mantendo o outro, e somar ao contrário.
  • Regra da cadeia: se temos uma função composta g(h(x)), então
\frac{d}{dx}g(h(x))=g'(h(x))\cdot h'(x).
Ou seja, derivamos a função externa em relação à sua entrada (avaliada em h(x)) e multiplicamos pela derivada da função interna.
Também vamos usar a regra do poder (power rule): para n real,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Exemplo rápido e intuitivo: para u(x)=x^{4} temos u'(x)=4x^{3}. Para w(x)=(a-2x^{3})^{2} aplicamos cadeia: função externa t\mapsto t^{2} e interna t=a-2x^{3}.

Passo 3

Derivada do primeiro fator x^{4} usando a regra do poder:
\frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.

Passo 4

Derivada do segundo fator \left(a-2x^{3}\right)^{2} usando a regra da cadeia. Seja h(x)=a-2x^{3} e g(t)=t^{2}. Então g'(t)=2t e h'(x)=\frac{d}{dx}(a-2x^{3})=0-6x^{2}=-6x^{2}. Aplicando cadeia:
\frac{d}{dx}\left(a-2x^{3}\right)^{2}=2\left(a-2x^{3}\right)\cdot(-6x^{2}).
Simplificando:
\frac{d}{dx}\left(a-2x^{3}\right)^{2}=-12x^{2}\left(a-2x^{3}\right).

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com u(x)=x^{4} e v(x)=\left(a-2x^{3}\right)^{2}:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u'(x)=4x^{3} e v'(x)=-12x^{2}\left(a-2x^{3}\right), obtemos
f'(x)=4x^{3}\left(a-2x^{3}\right)^{2}+x^{4}\bigl(-12x^{2}\left(a-2x^{3}\right)\bigr).

Passo 6

Vamos simplificar fatorando um máximo de termos em comum para deixar o resultado bonito e útil na prova. Note que ambos os termos têm fator comum 4x^{3}\left(a-2x^{3}\right). Fatorando esse termo:
Primeiro termo dividido pelo fator comum:
\frac{4x^{3}\left(a-2x^{3}\right)^{2}}{4x^{3}\left(a-2x^{3}\right)}=\left(a-2x^{3}\right).
Segundo termo:
x^{4}\bigl(-12x^{2}\left(a-2x^{3}\right)\bigr)=-12x^{6}\left(a-2x^{3}\right).
Dividindo por 4x^{3}\left(a-2x^{3}\right) obtemos
\frac{-12x^{6}\left(a-2x^{3}\right)}{4x^{3}\left(a-2x^{3}\right)}=-3x^{3}.
Portanto, reunindo:
f'(x)=4x^{3}\left(a-2x^{3}\right)\Bigl(\left(a-2x^{3}\right)-3x^{3}\Bigr).
Simplificando o parêntese:
\left(a-2x^{3}\right)-3x^{3}=a-5x^{3}.

Passo 7

Resultado final simplificado:
f'(x)=4x^{3}\left(a-2x^{3}\right)\left(a-5x^{3}\right).

Resposta

f'(x)=4x^{3}\left(a-2x^{3}\right)\left(a-5x^{3}\right)

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