Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes: é a variável;
é um parâmetro (constante em relação a
). A única pergunta é encontrar
.
Informações relevantes:
Passo 2
Relembrando duas regras que vamos usar (explicadas de forma bem didática):
- Regra do produto: se
e são funções de , então a derivada de é
Aqui
significa derivada de
em relação a
, idem para
. A ideia é: derivar um fator mantendo o outro, e somar ao contrário.
- Regra da cadeia: se temos uma função composta
, então
Ou seja, derivamos a função externa em relação à sua entrada (avaliada em
) e multiplicamos pela derivada da função interna.
Também vamos usar a regra do poder (power rule): para
real,
Exemplo rápido e intuitivo: para
temos
. Para
aplicamos cadeia: função externa
e interna
.
Passo 3
Derivada do primeiro fator
usando a regra do poder:
Passo 4
Derivada do segundo fator
usando a regra da cadeia. Seja
e
. Então
e
. Aplicando cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto com
e
:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Vamos simplificar fatorando um máximo de termos em comum para deixar o resultado bonito e útil na prova. Note que ambos os termos têm fator comum
. Fatorando esse termo:
Primeiro termo dividido pelo fator comum:
Segundo termo:
Dividindo por
obtemos
Portanto, reunindo:
Simplificando o parêntese:
Passo 7
Resultado final simplificado: