Calcule as seguintes derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y em cada item.
f(x, y)=2 e^x^2+3 x cos (y^2)

Passo 1

Resumindo o enunciado: a função é
f(x,y)=2e^x^2+3xcosl(y^2r),
e queremos as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y.
Conteúdo necessário: para derivadas parciais tratamos a outra variável como constante; vamos usar regra do produto, regra da cadeia e a derivada de e^u e de cos(u).

Passo 2

Cálculo de partial fpartial x:
  1. No termo 2e^x^2, y é constante e usamos a cadeia: se g(x)=e^x^2 então g'(x)=e^x^2cdot2x. Logo
partialpartial xl(2e^x^2r) =2cdotl(e^x^2cdot2xr) =4x,e^x^2
  1. No termo 3xcos(y^2), cos(y^2) é constante em relação a x, então
partialpartial xl(3xcos(y^2)r) =3cos(y^2)cdotpartialpartial x(x) =3cos(y^2)
Somando,
partial fpartial x =4x,e^x^2+3cosl(y^2r)

Passo 3

Cálculo de partial fpartial y:
  1. No termo 2e^x^2, x é constante e não há y, então a derivada é zero.
  2. No termo 3xcos(y^2), x é constante e aplicamos a cadeia em cos(y^2):
    se h(y)=cos(y^2) então h'(y)=-sin(y^2)cdot2y. Logo
partialpartial yl(3xcos(y^2)r) =3xcdotl(-2ysin(y^2)r) =-6xy,sinl(y^2r)
Somando os termos,
partial fpartial y =-6xy,sinl(y^2r)

Resposta

partial fpartial x=4x,e^x^2+3cosl(y^2r)
partial fpartial y=-6xy,sinl(y^2r)

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