Calcule as seguintes derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y em cada item.
f(x, y)=ln (x+y)-5 x^2 y^3+sen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=ln(x+y);-;5,x^2y^3;+;sin(2x)
em relação a x e a y. Vamos usar as regras de derivação:
  • para ln(x+y) aplicamos a regra da cadeia,
  • para -5x^2y^3 usamos a regra do produto (tratando y como constante ao derivar em x e vice-versa),
  • para sin(2x) aplicamos a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando em relação a x:
  1. partialpartial xln(x+y)=1x+ycdotpartialpartial x(x+y)=1x+y
  2. partialpartial xl(-5x^2y^3r)=-5y^3cdotpartialpartial x(x^2)=-5y^3cdot2x=-10xy^3
  3. partialpartial xsin(2x)=cos(2x)cdotpartialpartial x(2x)=2cos(2x)
    Somando,
partial fpartial x =1x+y-10xy^3+2cos(2x)

Passo 3

Derivando em relação a y:
  1. partialpartial yln(x+y)=1x+ycdotpartialpartial y(x+y)=1x+y
  2. partialpartial yl(-5x^2y^3r)=-5x^2cdotpartialpartial y(y^3)=-5x^2cdot3y^2=-15x^2y^2
  3. partialpartial ysin(2x)=0 (não depende de y).
    Somando,
partial fpartial y =1x+y-15x^2y^2

Resposta

partial fpartial x =1x+y-10xy^3+2cos(2x),
partial fpartial y =1x+y-15x^2y^2

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