Uma menina está de pé em A sobre uma plataforma que gira com uma velocidade angular constante omega=0,5 rad / s. Se ela caminha com uma velocidade constante v=0,75 m / s sobre a plataforma, determine sua aceleração (a) quando ela alcança o ponto D indo pelo caminho A D C, d=1 m; e (b) quando ela alcança o ponto B se ela for pelo caminho A B C, r= 3 m .

Passo 1

O enunciado descreve uma menina sobre uma plataforma girando com velocidade angular constante omega=0,5 rad/s. Ela caminha sobre a plataforma com velocidade relativa constante v=0,75 m/s. No caso (a) ela chega ao ponto D que está a uma distância radial d=1 m do centro, tendo vindo pelo trecho radial AD. No caso (b) ela chega ao ponto B distante radialmente r=3 m do centro, tendo vindo pelo trecho circular AB.
Para resolver vamos usar as coordenadas polares no referencial inercial, cuja aceleração se escreve
vec a = l(ddot r - r,dottheta^2r),hat er + l(r,ddottheta + 2,dot r,dotthetar),hat etheta

Passo 2

Caso (a): ela caminha radialmente para fora até D.
Isso significa que, no instante em que ela atinge D, temos
r=d=1, dot r=v=0,75, ddot r=0,
e como ela não muda seu ângulo no referencial da plataforma, o ângulo inercial é theta=omega t, logo
dottheta=omega=0,5, ddottheta=0

Passo 3

Substituindo em cada componente da aceleração:
ar = ddot r - r,dottheta^2 = 0 - 1,(0,5)^2 = -0,25 m/s^2,
atheta = r,ddottheta + 2,dot r,dottheta = 1cdot0 + 2cdot0,75cdot0,5 = 0,75 m/s^2
O módulo da aceleração é
|vec a| = raiz(-0,25)^2 + (0,75)^2 = raiz0,0625 + 0,5625 = 0,79 m/s^2

Passo 4

Caso (b): ela caminha ao redor de um círculo de raio constante r=3.
Nesse instante em B temos
r=3, dot r=0, ddot r=0
Como ela percorre a circunferência com velocidade relativa v, sua velocidade angular relativa é
dotphirm rel=vr=0,753=0,25 rad/s
No referencial inercial a velocidade angular total é
dottheta = omega + dotphirm rel = 0,5 + 0,25 = 0,75, ddottheta=0

Passo 5

Agora a aceleração em coordenadas polares fica
ar = ddot r - r,dottheta^2 = 0 - 3,(0,75)^2 = -1,6875 m/s^2,
atheta = r,ddottheta + 2,dot r,dottheta = 3cdot0 + 2cdot0cdot0,75 = 0
O módulo é
|vec a| = |ar| = 1,6875 m/s^2

Resposta

(a) Em D:
vec a = -0,25,hat er + 0,75,hat etheta(m/s^2), |vec a|=0,79 m/s^2
(b) Em B:
vec a = -1,6875,hat er + 0,hat etheta(m/s^2), |vec a|=1,6875 m/s^2

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