Calcule as seguintes derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y em cada item.
f(x, y)=e^x+y^2+5 x y^2 sec (2 x)-3 tg(y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=e^,x+y^2+5,x,y^2sec(2x)-3,tg(y)
em relação a x e a y. O conteúdo envolvido é diferenciação parcial, aplicando regra da cadeia, regra do produto e derivadas de funções elementares como exp, sec e tan.

Passo 2

Cálculo de partial fpartial x:
  1. Para e^,x+y^2, a derivada parcial em x é
partialpartial xe^,x+y^2 =e^,x+y^2timespartialpartial x(x+y^2) =e^,x+y^2cdot1 =e^,x+y^2
  1. Para 5,x,y^2sec(2x), usamos regra do produto em u=5,x,y^2 e v=sec(2x):
partial upartial x=5,y^2, partial vpartial x=sec(2x)tan(2x)cdot2
Logo,
partialpartial xl(5,x,y^2sec(2x)r) =5,y^2sec(2x) +5,x,y^2cdot2,sec(2x)tan(2x)
  1. Para -3,tg(y), como não há x, a derivada parcial é zero.
Somando tudo:
partial fpartial x =e^,x+y^2 +5,y^2sec(2x) +10,x,y^2sec(2x)tan(2x)

Passo 3

Cálculo de partial fpartial y:
  1. Para e^,x+y^2, aplica-se a regra da cadeia:
partialpartial ye^,x+y^2 =e^,x+y^2timespartialpartial y(x+y^2) =e^,x+y^2cdot2y =2y,e^,x+y^2
  1. Para 5,x,y^2sec(2x), tratamos 5,xsec(2x) como constante e derivamos y^2:
partialpartial yl(5,x,y^2sec(2x)r) =5,x,sec(2x)cdot2y =10,x,y,sec(2x)
  1. Para -3,tg(y), usamos ddytan(y)=sec^2(y):
partialpartial yl(-3,tg(y)r) =-3,sec^2(y)
Somando:
partial fpartial y =2y,e^,x+y^2 +10,x,y,sec(2x) -3,sec^2(y)

Resposta

partial fpartial x(x,y) =e^,x+y^2 +5,y^2sec(2x) +10,x,y^2sec(2x)tan(2x),
partial fpartial y(x,y) =2y,e^,x+y^2 +10,x,y,sec(2x) -3,sec^2(y)

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