( 2 , 5 pontos) Dada a expressão algébrica:
1+11+11+x
a) Simplifique.
b) Qual o valor fracionário da expressão para x=0,45222 ldots
(Resolver a questão sem uso da calculadora)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Simplificar a expressão algébrica
1+11+11+x
  1. Avaliar essa expressão em forma de fração quando
x=0,45222ldots
O conteúdo envolve manipulação de frações (fração contínua) e conversão de decimal periódico em número racional.

Passo 2

Vamos simplificar a parte interna 1+11+x. Primeiro note que
1+11+x=(1+x)+11+x=2+x1+x
Substituindo de volta na expressão original, fica
1+11+11+x =1+12+x1+x

Passo 3

Continuando a simplificação, invertemos o quociente em cima:
1+12+x1+x =1+1+x2+x =(2+x)+(1+x)2+x =3+2x2+x
Portanto a forma simplificada é
boxed3+2x2+x

Passo 4

Agora vamos lidar com a parte (b): converter
x=0,45222ldots
em fração. Aqui só o dígito “2” repete, e os dois primeiros dígitos “45” não. Se chamamos esse número de x, temos
x=0,45222ldots
O total de casas até o início da repetição é 2, e o período tem 1 casa. A fórmula é
x=número com uma repetição - número sem repetição10^2+1-10^2 =452-451000-100 =407900 úçãúçã

Passo 5

Basta agora substituir x=tfrac407900 em 3+2x2+x. Calculemos primeiro numerador e denominador separadamente:
3+2x =3+2cdot407900 =2700+814900 =3514900,
2+x =2+407900 =1800+407900 =2207900
Então
3+2x2+x =tfrac3514900tfrac2207900 =35142207,
e esse quociente já está irredutível.

Resposta

(a) 3+2x2+x
(b) 35142207

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