Calcule as seguintes derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y em cada item.
f(x, y)=x^5+3 x^3 y^2+3 x y^4+x e^3 y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=x^5+3x^3y^2+3xy^4+x,e^3y
ou seja, partial f/partial x e partial f/partial y. Na derivada parcial em relação a x tratamos y como constante, e na derivada parcial em relação a y tratamos x como constante. Vamos usar a regra do poder para potências, a regra do produto e a regra da cadeia para a exponencial.

Passo 2

Para partial f/partial x, derivamos cada termo em x mantendo y fixo:
  • partialpartial x(x^5)=5x^4
  • partialpartial x(3x^3y^2)=3cdot3x^2y^2=9x^2y^2
  • partialpartial x(3xy^4)=3y^4
  • partialpartial xl(x,e^3yr)=e^3y (produto: 1cdot e^3y+xcdot0)
Logo,
partial fpartial x =5x^4+9x^2y^2+3y^4+e^3y

Passo 3

Para partial f/partial y, derivamos cada termo em y mantendo x fixo:
  • partialpartial y(x^5)=0
  • partialpartial y(3x^3y^2)=3x^3cdot2y=6x^3y
  • partialpartial y(3xy^4)=3xcdot4y^3=12xy^3
  • partialpartial yl(x,e^3yr)=xcdot e^3ycdot3=3x,e^3y (cadeia)
Logo,
partial fpartial y =6x^3y+12xy^3+3x,e^3y

Resposta

partial fpartial x=5x^4+9x^2y^2+3y^4+e^3y
partial fpartial y=6x^3y+12xy^3+3x,e^3y

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