Calcule as seguintes derivadas utilizando o método da derivação implícita:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
(também escrita como
), usando o método indicado. As informações relevantes são:
- A equação relaciona
e de forma implícita. - O lado direito é a constante
. - O objetivo explícito: encontrar
em termos de e .
Passo 2
Breve lembrete das regras de diferenciação que vamos usar (explicadas como se estivéssemos fazendo passo a passo na prova):
- Regra do produto: se
e são funções de , então
onde
e
.
- Regra da cadeia (aplicada ao exponencial): se
é uma função, então
- Ao derivar uma expressão com
(que depende de ), tratamos como e usamos a notação . Por exemplo,
Passo 3
Identificamos as partes para aplicar a regra do produto na função do lado esquerdo:
e
.
Vamos também definir a função interna do exponencial:
Vamos também definir a função interna do exponencial:
Calculamos
usando regra da soma e da cadeia em
:
Passo 4
Aplicamos a regra do produto à expressão
:
Substituindo
e usando a regra da cadeia para
:
Passo 5
Substituímos
na expressão obtida:
Expandindo:
Passo 6
Derivando a equação original em ambos os lados (o lado direito é constante, derivada zero), temos
Agora isolamos os termos com
. Primeiro agrupamos os termos sem
:
Fatorando
no lado direito:
Passo 7
Como
é sempre diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por
(atenção: na prova verifique se
e
são tais que o denominador não seja zero). Fazendo a divisão:
Portanto a expressão final fica simplificada porque o exponencial cancela.