Calcule as seguintes derivadas utilizando o método da derivação implícita:
x e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)}=5

Passo 1

O enunciado dá a equação
x e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)}=5
e pede para calcular a derivada de y em relação a x, ou seja, \dfrac{dy}{dx} (também escrita como y'), usando o método indicado. As informações relevantes são:
  • A equação relaciona x e y de forma implícita.
  • O lado direito é a constante 5.
  • O objetivo explícito: encontrar \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 2

Breve lembrete das regras de diferenciação que vamos usar (explicadas como se estivéssemos fazendo passo a passo na prova):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções de x, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v',
onde u'=\dfrac{du}{dx} e v'=\dfrac{dv}{dx}.
  • Regra da cadeia (aplicada ao exponencial): se w(x) é uma função, então
\frac{d}{dx}\big(e^{w(x)}\big)=e^{w(x)}\cdot w'(x).
  • Ao derivar uma expressão com y (que depende de x), tratamos y como y(x) e usamos a notação y'=\dfrac{dy}{dx}. Por exemplo,
\frac{d}{dx}\big(y^2\big)=2y\cdot y'.

Passo 3

Identificamos as partes para aplicar a regra do produto na função do lado esquerdo: u(x)=x e v(x)=e^{x^{2}+y^{2}}.
Vamos também definir a função interna do exponencial:
w(x)=x^{2}+y^{2}.
Calculamos w'(x) usando regra da soma e da cadeia em y^2:
w'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2x+2y\,y'.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto à expressão x\cdot e^{w(x)}:
\frac{d}{dx}\big(x e^{w(x)}\big)=\frac{d}{dx}(x)\cdot e^{w(x)} + x\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{w(x)}\big).
Substituindo \frac{d}{dx}(x)=1 e usando a regra da cadeia para \dfrac{d}{dx}\big(e^{w(x)}\big):
\frac{d}{dx}\big(x e^{w(x)}\big)=e^{w(x)} + x\cdot e^{w(x)}\cdot w'(x).

Passo 5

Substituímos w'(x)=2x+2y\,y' na expressão obtida:
\frac{d}{dx}\big(x e^{w(x)}\big)=e^{w(x)} + x e^{w(x)}\big(2x+2y\,y'\big).
Expandindo:
\frac{d}{dx}\big(x e^{w(x)}\big)=e^{w(x)} + 2x^{2}e^{w(x)} + 2x y e^{w(x)}\,y'.

Passo 6

Derivando a equação original em ambos os lados (o lado direito é constante, derivada zero), temos
e^{w(x)} + 2x^{2}e^{w(x)} + 2x y e^{w(x)}\,y' = 0.
Agora isolamos os termos com y'. Primeiro agrupamos os termos sem y':
2x y e^{w(x)}\,y' = -\big(e^{w(x)} + 2x^{2}e^{w(x)}\big).
Fatorando e^{w(x)} no lado direito:
2x y e^{w(x)}\,y' = -e^{w(x)}\big(1+2x^{2}\big).

Passo 7

Como e^{w(x)}=e^{x^{2}+y^{2}} é sempre diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por 2x y e^{w(x)} (atenção: na prova verifique se x e y são tais que o denominador não seja zero). Fazendo a divisão:
y'=\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{w(x)}\big(1+2x^{2}\big)}{2x y e^{w(x)}} = -\frac{1+2x^{2}}{2x y}.
Portanto a expressão final fica simplificada porque o exponencial cancela.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{1+2x^{2}}{2x y}

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