Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{ccc}c & -4 & 3 \\\\ 2 & 1 & c^{2} \\\\ 4 & c-1 & 2\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 3\times3
\begin{pmatrix} c & -4 & 3\\[4pt] 2 & 1 & c^{2}\\[4pt] 4 & c-1 & 2 \end{pmatrix}.
Informações relevantes: a matriz tem entradas dependentes do parâmetro c. A tarefa é obter o valor do determinante como função de c. Não há outras perguntas.]

Passo 2

Vou usar a fórmula padrão do determinante de uma matriz 3\times3. Se chamarmos as entradas por
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
então o determinante é dado por
\det(A)=a_{11}\bigl(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\bigr)-a_{12}\bigl(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\bigr)+a_{13}\bigl(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\bigr).
Explicando: cada termo multiplica uma entrada da primeira linha pelo determinante do menor 2\times2 que sobra ao riscar a linha e coluna dessa entrada; o sinal alterna +,-,+.]

Passo 3

Identifico as entradas da matriz do enunciado com os a_{ij}:
a_{11}=c,\quad a_{12}=-4,\quad a_{13}=3,
a_{21}=2,\quad a_{22}=1,\quad a_{23}=c^{2},
a_{31}=4,\quad a_{32}=c-1,\quad a_{33}=2.

Passo 4

Calculo o primeiro menor a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}:
a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}=1\cdot 2 - c^{2}\cdot (c-1)=2 - c^{2}(c-1).
Isso significa que o primeiro termo do determinante será a_{11} vezes isso, ou seja c\bigl(2 - c^{2}(c-1)\bigr).

Passo 5

Calculo o segundo menor a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}:
a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}=2\cdot 2 - c^{2}\cdot 4 = 4 - 4c^{2}.
Como a fórmula usa -a_{12} multiplicando esse menor, e a_{12}=-4, o contributo do segundo termo será
- a_{12}\bigl(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\bigr) = -(-4)\,(4-4c^{2}) = 4(4-4c^{2}) = 16 - 16c^{2}.

Passo 6

Calculo o terceiro menor a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}:
a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}=2\cdot (c-1) - 1\cdot 4 = 2c -2 -4 = 2c -6.
O terceiro termo é a_{13} vezes esse menor, com a_{13}=3, logo o contributo é
3(2c-6)=6c - 18.

Passo 7

Agora somo os três contributos conforme a fórmula:
\det = c\bigl(2 - c^{2}(c-1)\bigr) + \bigl(16 - 16c^{2}\bigr) + \bigl(6c - 18\bigr).

Passo 8

Faço as multiplicações e simplificações passo a passo. Primeiro expando c\bigl(2 - c^{2}(c-1)\bigr).
Observe que c^{2}(c-1)=c^{3}-c^{2}. Então
c\bigl(2 - c^{2}(c-1)\bigr)=c\bigl(2 - (c^{3}-c^{2})\bigr)=c\bigl(2 - c^{3} + c^{2}\bigr)=2c - c^{4} + c^{3}.

Passo 9

Agora somo tudo juntando os termos já calculados:
\det = \bigl(2c - c^{4} + c^{3}\bigr) + \bigl(16 - 16c^{2}\bigr) + \bigl(6c - 18\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
  • termo em c^{4}: -c^{4},
  • termo em c^{3}: +c^{3},
  • termo em c^{2}: -16c^{2},
  • termo em c: 2c + 6c = 8c,
  • termo constante: 16 - 18 = -2.

Passo 10

Portanto o determinante, como polinômio em c, é
\det = -c^{4} + c^{3} - 16c^{2} + 8c - 2.

Resposta

-c^{4} + c^{3} - 16c^{2} + 8c - 2

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