Verifique quais das matrizes abaixo são ortogonais.
A=\left[\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{3} & \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \\ 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das matrizes abaixo são ortogonais:
A=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\\[6pt]\dfrac{2\sqrt{2}}{3} & -\dfrac{1}{3}\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{6}}{3} & \dfrac{\sqrt{3}}{3} & \dfrac{\sqrt{3}}{3}\\[6pt] -\dfrac{\sqrt{3}}{3} & \dfrac{\sqrt{6}}{6} & \dfrac{\sqrt{6}}{6}\\[6pt] 0 & -\dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: as entradas de cada matriz (já listadas acima). A pergunta é: para cada matriz, ela é ortogonal ou não?]

Passo 2

O que significa “matriz ortogonal” (a teoria útil que vamos usar):
  • Uma matriz quadrada M é ortogonal se e somente se
M^{T}M = I,
onde M^{T} é a transposta de M e I é a matriz identidade do mesmo tamanho. Vou explicar isso pedacinho por pedacinho:
  • Sejam as colunas de M denotadas por v_1,v_2,\dots. A entrada (M^{T}M)_{ij} é o produto escalar (dot product) entre as colunas v_i e v_j:
(M^{T}M)_{ij} = v_i\cdot v_j.
  • Portanto, M^{T}M=I significa que v_i\cdot v_j=0 quando i\neq j (colunas mutuamente ortogonais) e v_i\cdot v_i=1 (cada coluna tem norma 1). Em palavras: colunas ortonormais.
  • Observação prática: para checar ortogonalidade podemos:
    1. Calcular M^{T}M e ver se dá I, ou
    2. Verificar que cada coluna tem norma 1 e que colunas diferentes têm produto escalar zero.
  • Outra propriedade útil (teste rápido): se M é ortogonal então \det(M)=\pm 1. Se \det(M)\neq \pm 1 já podemos descartar ortogonalidade.
Vou aplicar essas idéias a A,B,C passo a passo.

Passo 3

Verificação para A.
Primeiro calculemos \,A^{T}. Como \,A=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}, temos
A^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculemos A^{T}A. Multiplicando:
A^{T}A = \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Fazendo as multiplicações linha × coluna elemento a elemento:
A^{T}A = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 2\cdot 2 & 1\cdot(-2) + 2\cdot 1\\[6pt] (-2)\cdot 1 + 1\cdot 2 & (-2)\cdot(-2) + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix} =5I.
Resultado: A^{T}A=5I, que não é a identidade I. Portanto A NÃO satisfaz A^{T}A=I, então A não é ortogonal.
Explicação intuitiva: as colunas de A são mutuamente ortogonais (produto escalar zero), mas cada coluna tem norma \sqrt{5}, não 1 — por isso o fator 5. Também pela propriedade do determinante:
\det(A)=1\cdot 1 - (-2)\cdot 2 = 1+4=5,
que não é \pm 1; isso confirma que A não é ortogonal.]

Passo 4

Verificação para B.
Escrevo as colunas de B. Se
B=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\\[6pt]\dfrac{2\sqrt{2}}{3} & -\dfrac{1}{3}\end{pmatrix},
então as colunas são
u_1=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}\\[4pt]\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\end{pmatrix},\qquad u_2=\begin{pmatrix}\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\\[4pt]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
Checamos normas e produto escalar:
Norma ao quadrado de u_1:
\|u_1\|^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9} + \dfrac{8}{9} = \dfrac{9}{9} = 1.
Norma ao quadrado de u_2:
\|u_2\|^2 = \left(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{8}{9} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{9}{9} = 1.
Produto escalar u_1\cdot u_2:
u_1\cdot u_2 = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}}{3} + \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{2\sqrt{2}}{9} - \dfrac{2\sqrt{2}}{9} = 0.
Conclusão: as colunas são ortonormais (norma 1 e mutuamente ortogonais), logo B^{T}B=I e B é ortogonal.
Como checagem extra, o determinante:
\det(B)=\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}}{3} = -\dfrac{1}{9}-\dfrac{8}{9} = -1,
compatível com ortogonalidade (determinante \pm 1).]

Passo 5

Verificação para C.
Vou escrever as colunas de C explicitamente (peguei as entradas da matriz do enunciado):
v_1=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{6}}{3}\\[6pt]-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\[6pt]0\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\[6pt]\dfrac{\sqrt{6}}{6}\\[6pt]-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix},\qquad v_3=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\[6pt]\dfrac{\sqrt{6}}{6}\\[6pt]\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}.
Primeiro verifiquemos as normas ao quadrado:
Para v_1:
\|v_1\|^2 = \left(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 + \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 0^2 = \dfrac{6}{9} + \dfrac{3}{9} = \dfrac{9}{9} = 1.
Para v_2:
\|v_2\|^2 = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{6}}{6}\right)^2 + \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{9} + \dfrac{6}{36} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} = 1.
Para v_3 (os quadrados dos componentes são os mesmos que em v_2, só muda sinal no último componente):
\|v_3\|^2 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} = 1.
Então cada coluna tem norma 1. Agora checamos os produtos escalares entre colunas:
Produto v_2\cdot v_3:
v_2\cdot v_3 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3} + \dfrac{\sqrt{6}}{6}\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{6} + \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2} = 0.
Portanto v_2 e v_3 são ortogonais entre si.
Produto v_1\cdot v_2:
v_1\cdot v_2 = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3} + \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{6} + 0\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Simplificando termo a termo:
\dfrac{\sqrt{6}\sqrt{3}}{9} - \dfrac{\sqrt{3}\sqrt{6}}{18} = \dfrac{\sqrt{18}}{9} - \dfrac{\sqrt{18}}{18} = \sqrt{18}\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{18}\right) = \sqrt{18}\cdot\dfrac{1}{18} = \dfrac{\sqrt{18}}{18} = \dfrac{3\sqrt{2}}{18} = \dfrac{\sqrt{2}}{6} \neq 0.
Logo v_1 não é ortogonal a v_2 (o produto escalar é \dfrac{\sqrt{2}}{6}, diferente de zero).
Como requisito de ortogonalidade as colunas devem ser mutuamente ortogonais; aqui v_1 não é ortogonal a v_2 (nem a v_3 — nota: v_1\cdot v_3 dá o mesmo valor \dfrac{\sqrt{2}}{6} porque v_2 e v_3 só diferem no sinal do último componente, que é multiplicado por zero na primeira coluna). Portanto C^{T}C\neq I e C NÃO é ortogonal.]

Resposta

A: não ortogonal\n
B: ortogonal\n
C: não ortogonal

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