Informações relevantes dadas: as entradas de cada matriz (já listadas acima). A pergunta é: para cada matriz, ela é ortogonal ou não?]
Passo 2
O que significa “matriz ortogonal” (a teoria útil que vamos usar):
Uma matriz quadrada M é ortogonal se e somente se
M^{T}M = I,
onde M^{T} é a transposta de M e I é a matriz identidade do mesmo tamanho. Vou explicar isso pedacinho por pedacinho:
Sejam as colunas de M denotadas por v_1,v_2,\dots. A entrada (M^{T}M)_{ij} é o produto escalar (dot product) entre as colunas v_i e v_j:
(M^{T}M)_{ij} = v_i\cdot v_j.
Portanto, M^{T}M=I significa que v_i\cdot v_j=0 quando i\neq j (colunas mutuamente ortogonais) e v_i\cdot v_i=1 (cada coluna tem norma 1). Em palavras: colunas ortonormais.
Observação prática: para checar ortogonalidade podemos:
Calcular M^{T}M e ver se dá I, ou
Verificar que cada coluna tem norma 1 e que colunas diferentes têm produto escalar zero.
Outra propriedade útil (teste rápido): se M é ortogonal então \det(M)=\pm 1. Se \det(M)\neq \pm 1 já podemos descartar ortogonalidade.
Vou aplicar essas idéias a A,B,C passo a passo.
Passo 3
Verificação para A.
Primeiro calculemos \,A^{T}. Como \,A=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}, temos
Resultado: A^{T}A=5I, que não é a identidade I. Portanto A NÃO satisfaz A^{T}A=I, então A não é ortogonal.
Explicação intuitiva: as colunas de A são mutuamente ortogonais (produto escalar zero), mas cada coluna tem norma \sqrt{5}, não 1 — por isso o fator 5. Também pela propriedade do determinante:
\det(A)=1\cdot 1 - (-2)\cdot 2 = 1+4=5,
que não é \pm 1; isso confirma que A não é ortogonal.]
Logo v_1 não é ortogonal a v_2 (o produto escalar é \dfrac{\sqrt{2}}{6}, diferente de zero).
Como requisito de ortogonalidade as colunas devem ser mutuamente ortogonais; aqui v_1 não é ortogonal a v_2 (nem a v_3 — nota: v_1\cdot v_3 dá o mesmo valor \dfrac{\sqrt{2}}{6} porque v_2 e v_3 só diferem no sinal do último componente, que é multiplicado por zero na primeira coluna). Portanto C^{T}C\neq I e C NÃO é ortogonal.]
Resposta
A: não ortogonal\n B: ortogonal\n C: não ortogonal