Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{cccc}-2 & 3 & 1 & 7 \\\\ 0 & -1 & 2 & 0 \\\\ 3 & -4 & 5 & 1 \\\\ 1 & 0 & -2 & -1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede a determinação do determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 & 7 \\[6pt] 0 & -1 & 2 & 0 \\[6pt] 3 & -4 & 5 & 1 \\[6pt] 1 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}.
O conteúdo utilizado será: operações elementares em linhas (troca de linhas e soma de múltiplos de uma linha em outra) e expansão por Laplace em uma coluna que tenha muitos zeros.]

Passo 2

Troque R_1 com R_3. Após essa troca, chamemos a nova matriz de B. Note que
\det(B) = -\,\det(A).
A matriz B fica
B = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 5 & 1 \\[4pt] 0 & -1 & 2 & 0 \\[4pt] -2 & 3 & 1 & 7 \\[4pt] 1 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}.
Em seguida, vamos zerar as entradas abaixo de b_{11}=3 usando R_3\to R_3+\tfrac{2}{3}R_1 e R_4\to R_4-\tfrac{1}{3}R_1. Essas operações não alteram o determinante. Obtém-se
B'=\begin{pmatrix} 3 & -4 & 5 & 1 \\[3pt] 0 & -1 & 2 & 0 \\[3pt] 0 & \tfrac13 & \tfrac{13}{3} & \tfrac{23}{3} \\[3pt] 0 & \tfrac43 & -\tfrac{11}{3} & -\tfrac{4}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Expanda \det(B') pela primeira coluna. Só b'_{11}=3 é não nulo nessa coluna, logo
\det(B') = 3 \,\det(M),
onde M é o menor 3\times3 formado pelas linhas 2–4 e colunas 2–4:
M = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\[3pt] \frac13 & \frac{13}{3} & \frac{23}{3} \\[3pt] \frac43 & -\frac{11}{3} & -\frac{4}{3} \end{pmatrix}.
Como \det(B)=\det(B') (só fizemos soma de múltiplos de linhas) e \det(A)=-\det(B), temos
\det(A) = -\,3\,\det(M).]

Passo 4

Para calcular \det(M), note que M tem coeficientes fracionários; multiplique todos os elementos de M por 3 formando
N = 3M = \begin{pmatrix} -3 & 6 & 0 \\[3pt] 1 & 13 & 23 \\[3pt] 4 & -11 & -4 \end{pmatrix}.
Como N=3M em cada linha, \det(N)=3^3\det(M)=27\,\det(M). Agora calcule
\det(N) = -3\begin{vmatrix}13&23\\\ -11&-4\end{vmatrix} -6\begin{vmatrix}1&23\\\ 4&-4\end{vmatrix} +0 = -3\bigl(-52-(-253)\bigr)-6\bigl(-4-92\bigr) = -3\cdot201 -6\cdot(-96) = -603 +576 = -27.
Assim \det(M)=\tfrac{\det(N)}{27}=-\tfrac{27}{27}=-1.]

Passo 5

Voltando a \det(A):
\det(A) = -\,3\,\det(M) = -3\cdot(-1) = 3.

Resposta

3

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