17 (UFF-RJ) Considere a matriz M=\left[\begin{array}{cc}-3 & 0 \\\\ 4 & 5\end{array}\right]. Quais os valores de k que tornam nulo o determinante da matriz \mathbf{M}-\mathbf{k I}, sendo \boldsymbol{I} a matriz identidade?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
M = \begin{pmatrix}-3 & 0 \\[6pt] 4 & 5\end{pmatrix}
e pede os valores de k que tornam nulo o determinante de M - kI. Aqui usaremos a definição de determinante para matriz 2\times2 e o conceito de autovalores (valores característicos) de M.]

Passo 2

Escrevemos
M - kI = \begin{pmatrix}-3 & 0 \\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix} - k \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3-k & 0 \\[4pt] 4 & 5-k\end{pmatrix}.
Então calculamos o determinante:
\det(M - kI) = (-3-k)(5-k) - 0\cdot4 = (-3-k)(5-k).
Para anular esse determinante, basta que um dos fatores seja zero:
-3 - k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = -3,
5 - k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 5.]

Resposta

k = -3 ou k = 5

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