Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{cccc}3 & 4 & 2 & 1 \\\\ 5 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 4 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3 & 3\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 & 1 \\\\ 5 & 0 & -1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 4 & 0 \\\\ -1 & 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo usado será expansão de Laplace (cofatores), aproveitando linhas ou colunas com muitos zeros.

Passo 2

Observamos que a terceira linha de A é (0,0,4,0). Ao expandir o determinante por essa linha, só o elemento a_{33}=4 contribui:
\det(A) \;=\; a_{33}\,C_{33} \;=\;4\;M_{33},
onde M_{33} é o menor obtido ao eliminar a linha 3 e a coluna 3.

Passo 3

O menor M_{33} é o determinante da matriz 3\times3 formada pelas linhas 1,2,4 e colunas 1,2,4 de A:
M_{33} =\begin{vmatrix} 3 & 4 & 1\\\\ 5 & 0 & -2\\\\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}.

Passo 4

Para calcular M_{33}, fazemos expansão pela primeira linha:
M_{33} =3\begin{vmatrix}0 & -2\\\ 0 & 3\end{vmatrix} -4\begin{vmatrix}5 & -2\\\ -1 & 3\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}5 & 0\\\ -1 & 0\end{vmatrix}.
Cada menor 2\times2 vale
\begin{vmatrix}0 & -2\\\ 0 & 3\end{vmatrix}=0\,,\quad \begin{vmatrix}5 & -2\\\ -1 & 3\end{vmatrix}=15-2=13\,,\quad \begin{vmatrix}5 & 0\\\ -1 & 0\end{vmatrix}=0,
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M_{33}=3\cdot0 -4\cdot13 +1\cdot0 = -52.

Passo 5

Substituindo em \det(A)=4\cdot M_{33}, obtemos
\det(A)=4\cdot(-52)=-208.

Resposta

-208

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