Calcule o seguinte determinante. Escreva sua resposta como um polinômio em x.
\left|\begin{array}{ccc} a-x & b & c \\\\ 1 & -x & 0 \\\\ 0 & 1 & -x \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz 3\times3
\begin{vmatrix} a-x & b & c \\\\ 1 & -x & 0 \\\\ 0 & 1 & -x \end{vmatrix}
e quer a resposta escrita como um polinômio em x.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • Entrada (1,1) da matriz: a-x.
  • Entrada (1,2) da matriz: b.
  • Entrada (1,3) da matriz: c.
  • Segunda linha: 1,\\\ -x,\\\ 0.
  • Terceira linha: 0,\\\ 1,\\\ -x.
Pergunta clara: calcular o determinante acima e apresentá-lo como polinômio em x.

Passo 2

Método escolhido: expansão por cofatores (fórmula direta do determinante de 3\times3). É um método simples e sistemático, fácil de fazer sem calculadora.
Lembrando a fórmula de expansão pela primeira linha: para uma matriz com entradas m_{ij},
\det M = m_{11}\,(m_{22}m_{33}-m_{23}m_{32}) - m_{12}\,(m_{21}m_{33}-m_{23}m_{31}) + m_{13}\,(m_{21}m_{32}-m_{22}m_{31}).
Aqui m_{ij} é o elemento da linha i e coluna j. Cada termo é um elemento da primeira linha multiplicado pelo determinante da submatriz que sobra (menor), com o sinal alternado +,-,+.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, identificamos m_{11}=a-x, m_{12}=b, m_{13}=c, m_{21}=1, m_{22}=-x, m_{23}=0, m_{31}=0, m_{32}=1, m_{33}=-x.
Calcule o menor associado a m_{11}:
m_{22}m_{33}-m_{23}m_{32} = (-x)(-x) - 0\cdot1 = x^2.
Portanto o primeiro termo da expansão é
m_{11}\cdot x^2 = (a-x)\,x^2.

Passo 4

Calcule o menor associado a m_{12}:
m_{21}m_{33}-m_{23}m_{31} = 1\cdot(-x) - 0\cdot0 = -x.
Na fórmula esse termo entra com sinal negativo (veja o padrão +,-,+), então o contributo total do elemento m_{12}=b é
-\,m_{12}\cdot(-x) = -b\cdot(-x) = b x.

Passo 5

Calcule o menor associado a m_{13}:
m_{21}m_{32}-m_{22}m_{31} = 1\cdot1 - (-x)\cdot0 = 1.
Esse termo entra com sinal positivo, então o contributo do elemento m_{13}=c é
m_{13}\cdot 1 = c.

Passo 6

Agora somamos os três contributos:
\det = (a-x)\,x^2 + b x + c.
Expandindo o produto (a-x)\,x^2:
(a-x)\,x^2 = a x^2 - x^3.
Portanto, reunindo tudo e ordenando por potências decrescentes de x,
\det = -x^3 + a x^2 + b x + c.

Passo 7

Breve comentário final (para te dar confiança): o cálculo usou só a fórmula de expansão por cofatores e multiplicações simples — nada de passos complicados. Se quiser, dá pra checar fazendo operações de linha (por exemplo triangularizando) e obter o mesmo polinômio; é um bom exercício para consolidar.

Resposta

-x^3 + a x^2 + b x + c

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