Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{rrrr}4 & -5 & 3 & 2 \\\\ -1 & 0 & 3 & 0 \\\\ 1 & 2 & -1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 0 & 4\end{array}\right|;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & -5 & 3 & 2 \\\\ -1 & 0 & 3 & 0 \\\\ 1 & 2 & -1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é a expansão por cofiatores (menores), aproveitando que a segunda linha tem dois zeros, o que simplifica os cálculos.

Passo 2

Vamos expandir o determinante \det(A) pela segunda linha. Se chamarmos o determinante de D, temos
D = \sum_{j=1}^{4} (-1)^{2+j}\,a_{2j}\,M_{2j},
onde M_{2j} é o menor correspondente ao elemento a_{2j}. Como a_{22}=0 e a_{24}=0, só restam as contribuições de j=1 e j=3. Logo
D = (-1)^{2+1}(-1)\,M_{21} \;+\; (-1)^{2+3}(3)\,M_{23} = M_{21} \;-\; 3\,M_{23}.

Passo 3

O menor M_{21} é o determinante da submatriz que sobra ao remover linha 2 e coluna 1:
M_{21} = \begin{vmatrix} -5 & 3 & 2 \\[6pt] 2 & -1 & 3 \\[6pt] 1 & 0 & 4 \end{vmatrix}.
Para calcular, usamos a regra de Sarrus ou a expansão em 3\times 3:
M_{21} = -5\cdot\bigl((-1)\cdot4 - 3\cdot0\bigr) - 3\cdot\bigl(2\cdot4 - 3\cdot1\bigr) + 2\cdot\bigl(2\cdot0 - (-1)\cdot1\bigr).
Isso dá
M_{21} = -5\cdot(-4) - 3\cdot5 + 2\cdot1 = 20 - 15 + 2 = 7.]

Passo 4

O menor M_{23} é o determinante da submatriz obtida ao remover linha 2 e coluna 3:
M_{23} = \begin{vmatrix} 4 & -5 & 2 \\[6pt] 1 & 2 & 3 \\[6pt] 2 & 1 & 4 \end{vmatrix}.
Aplicando a fórmula de 3\times 3:
M_{23} = 4\cdot(2\cdot4 - 3\cdot1) -(-5)\cdot(1\cdot4 - 3\cdot2) + 2\cdot(1\cdot1 - 2\cdot2).
Logo
M_{23} = 4\cdot5 - 5\cdot(-2) + 2\cdot(-3) = 20 - 10 - 6 = 4.]

Passo 5

Substituindo M_{21}=7 e M_{23}=4 em
D = M_{21} - 3\,M_{23}
temos
D = 7 - 3\cdot4 = 7 - 12 = -5.

Resposta

-5

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