Mostre que o comprimento de arco da hélice circular r(t)=(a cos (t), a sen(t), ct), t in[0, b] é dado por b^* sqrt(a^2+c^2).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da hélice circular definida por r(t)=(acos t,,asin t,,c t) no intervalo [0,b]. O conteúdo envolvido é cálculo de comprimento de arco de curva no espaço e vamos precisar usar a fórmula
L=integral0^b|r'(t)|,dt

Passo 2

Derivando cada componente de r(t), obtemos
r'(t)=(-asin t,,acos t,,c)

Passo 3

Agora calculamos o módulo de r'(t):
|r'(t)|=raiz(-asin t)^2+(acos t)^2+c^2 =raiza^2(sin^2t+cos^2t)+c^2=raiza^2+c^2
Como sin^2t+cos^2t=1, esse valor é constante.

Passo 4

Como |r'(t)|=raiza^2+c^2 é constante, a integral de comprimento é simples:
L=integral0^braiza^2+c^2,dt=raiza^2+c^2integral0^bdt=braiza^2+c^2

Resposta

braiza^2+c^2

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