Calcule as seguintes integrais:
integral0^3 integral0^2 integral0^1(x^2+y^2+z^2) d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral0^3 integral0^2 integral0^1 l(x^2+y^2+z^2r),dx,dy,dz
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Fubini e a separação de variáveis para somar integrais de funções mais simples.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Fubini e usando a linearidade da integral, separamos a soma dentro do integrando em três integrais independentes:
integral0^3!integral0^2!integral0^1(x^2+y^2+z^2),dx,dy,dz = integral0^3!integral0^2!integral0^1x^2,dx,dy,dz + integral0^3!integral0^2!integral0^1y^2,dx,dy,dz + integral0^3!integral0^2!integral0^1z^2,dx,dy,dz

Passo 3

Calculemos a primeira integral, relacionada a x^2:
integral0^1x^2,dx = [x^33]0^1 = 13
Como y e z variam em [0,2] e [0,3], temos
integral0^2dy = 2, integral0^3dz = 3
Logo o termo x^2 contribui com
13times 2 times 3 = 2

Passo 4

Agora a parte de y^2:
integral0^2y^2,dy = [y^33]0^2 = 83,
enquanto
integral0^1dx = 1 e integral0^3dz = 3.
Assim o termo y^2
1 times 83 times 3 = 8

Passo 5

Por fim, o termo z^2:
integral0^3z^2,dz = [z^33]0^3 = 9,
e como integral0^1dx = 1, integral0^2dy = 2, obtemos
1 times 2 times 9 = 18
Somando todas as contribuições:
2 + 8 + 18 = 28

Resposta

28

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