Determine o centro de massa da lãmina plana R, no plano x y e densidade f(x, y).
R é limitado por y=x e y=x^2 e f(x, y)=x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma lâmina plana no plano xy com densidade ,f(x,y)=x^2+y^2 sobre a região R limitada pelas curvas y=x^2 e y=x. O conteúdo é cálculo de integrais duplas para obter
M=integral duplaRf(x,y),dA, bar x=1Mintegral duplaRx,f(x,y),dA, bar y=1Mintegral duplaRy,f(x,y),dA

Passo 2

Determinamos a região de integração encontrando a interseção x^2=x, ou seja x=0 e x=1. Para 0<= x<=1 temos x^2<= y<= x. Logo
R=(x,y)mid 0<= x<=1,;x^2<= y<= x

Passo 3

Calculamos a massa M:
M=integral0^1!integralx^2^x(x^2+y^2),dy,dx =integral0^1l[x^2y+tfracy^33r]y=x^2^y=x,dx =integral0^14x^3-3x^4-x^63,dx =335

Passo 4

Calculamos o momento Mx=integral dupla x,f(x,y),dA:
Mx=integral0^1!integralx^2^xx(x^2+y^2),dy,dx =integral0^1l[x^3y+tfracx,y^33r]y=x^2^y=x,dx =integral0^1l(tfrac4x^43-x^5-tfracx^73r),dx =7120

Passo 5

Calculamos o momento My=integral dupla y,f(x,y),dA:
My=integral0^1!integralx^2^xy(x^2+y^2),dy,dx =integral0^1l[tfracx^2y^22+tfracy^44r]y=x^2^y=x,dx =integral0^1l(tfrac3x^44-tfracx^62-tfracx^84r),dx =16315

Passo 6

As coordenadas do centro de massa são
bar x=MxM =tfrac7120tfrac335 =4972, bar y=MyM =tfrac16315tfrac335 =1627

Resposta

(bar x,bar y)=l(tfrac4972,,tfrac1627r)

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